Beweis Wahrscheinlichkeitsraum Stochastik

Question

Aufgabe:

Seien(Ω,Α,ℙ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und Ak∈ Α für k∈ℕ. Setze

A= ∪Ak mit k=1 bis ∞

Problem/Ansatz:

Beweisen Sie: ℙ[A]=lim n->∞ ℙ[∪Ak mit k=1 bis n]

Answer 1

Sei

$$S_n:= \bigcup_{k=1}^nA_k, \qquad B_1:=S_1, \; B_{k+1}:=S_{k+1}\setminus S_k$$

Dann sind die\(S_n\) steigend, die \(B_k\) disjunkt, die Vereinigung über \(B_1, \ldots,B_n\) ist gleich \(S_n\). DAmit ist

$$P(A)=P( \bigcup_{k=1}^{\infty}A_k)=P( \bigcup_{k=1}^{\infty}B_k)=\sum_{k=1}^{\infty}P(B_k)\\\quad =\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}P(B_k)=\lim_{n \to \infty}P( \bigcup_{k=1}^{n}A_k)$$