Wahrscheinlichkeitsraum und Wahrscheinlichkeiten bestimmen (Stochastik)

Question

Aufgabe:

In den Aufzug des vierstöckigen (also Erdgeschoss und drei Obergeschosse) Gebäudes des Mathematischen Instituts der Universität Groningen steigen um 9 Uhr im Erdgeschoss 6 Personen ein. Auf der Fahrt zur obersten Etage steigen alle Fahrgäste irgendwann aus. Suche einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum und berechne für die Ereignisse \( A_{i} \) : ,auf der i-ten Etage steigt niemand aus die Wahrscheinlichkeiten \( P\left(A_{i}\right) \), \( P\left(A_{i} \cap A_{j}\right) \) für alle \( 1 \leq i, j \leq 3 \) und \( P\left(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}\right) \). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Lift auf jeder Etage halten muss?

Problem/Ansatz:

Hallöchen zusammen,

im Rahmen meiner EWS Vorlesung sitze ich aktuell an dieser Aufgabe.

Folgendes sind meine Ansätze.

Vielleicht könnt ihr mir an der ein oder anderen Stelle helfen und/oder sagen, ob das so richtig ist.

Danke schon mal im Voraus und liebe Grüße. :)

Ansatz:

Zuerst habe ich versucht den Wahrscheinlichkeitsraum zu bestimmen.

Dabei habe ich mir folgendes überlegt.

Ergebnisraum: 3⁶  =729

Ereignisraum: Alle möglichen Teilmengen an Ereignissen die in dem Ergebnisraum enthalten sind

(aber was ist das in diesem Fall genau ???)

Wahrscheinlichkeitsverteilung:

Wahrscheinlichkeit, dass eine Person auf einer bestimmten Etage aussteigt= 1/3

Wahrscheinlichkeit, dass eine Person nicht auf einer bestimmten Etage aussteigt = 2/3

Nun habe ich angefangen die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse zu berechnen.

Da habe ich mir folgendes gedacht :

1)

\( P\left(A_{i}\right)=\left(\frac{2}{3}\right)^{6} \)

 2)

\( P\left(A_{i} \cap A_{j}\right)=\left(\frac{1}{3}\right)^{6} \)

3)

\( P\left(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}\right)=0 \)

4)

\( P\left(A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}\right)=P\left(A_{1}\right)+P\left(A_{2}\right)+P\left(A_{3}\right)-P\left(A_{1} \cap A_{2}\right)-P\left(A_{1} \cap A_{3}\right)-P\left(A_{2} \cap A_{3}\right)+P\left(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}\right) \)

Daraus folgt:

\( P( \) der Aufzug hlt auf jeder Etage \( )=1-P\left(A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}\right) \approx 1-0,25889=0,74111 \)

Answer 1

Ergebnisraum: 3^6  =729

Das ist ganz sicher nicht der Ergebnisraum. Das ist ja nur eine Zahl. Arbeite bitte präzise mit den mathematischen Begriffen. Dann beantworten sich die meisten Fragen nämlich bereits von selbst. Wie könnte man denn ein einzelnes Ergebnis formal beschreiben? Und wie sieht dann die Menge aller Ergebnisse aus?

Damit lässt sich dann auch die Frage nach dem Ereignisraum \((\Omega, \Sigma)\) beantworten, wobei \(\Omega\) dein Ergebnisraum ist und \(\Sigma\) eine \(\sigma\)-Algebra über \(\Omega\). Da du aber keinen Ergebnisraum angegeben hast, weißt du natürlich nicht, wie die entsprechenden Teilmengen aussehen. Also fange damit nochmal an.

Der übrige Ansatz ist soweit in Ordnung. Ich würde allerdings das exakte Ergebnis von \(\frac{20}{27}\) angeben. Außerdem solltest du bei deiner Lösung erwähnen, dass du von Unabhängigkeit ausgehst.

Comments

Okay. Ich weiß nicht ob ich es jetzt richtig verstanden habe.

Aber meine Idee wäre dann….

Ergebnisraum: (1,2,3)

Ereignisraum: (1),(2),(3)

Und die Wahrscheiblichkeitsverteilung müsste richtig sein, oder?

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Was soll denn (1,2,3) heißen? Bedenke, dass im Ergebnisraum alle möglichen Ergebnisse enthalten sein müssen.

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Alsooo ich habe es mir jetzt nochmal in Ruhe angeschaut.

Ich habe jetzt folgendes raus:

Wahrscheinlichkeitsraum

Ergebnisraum: Ω = {1, 2, 3}⁶

Ereignisraum: F= {{1} {2} {3} {1,2} {1,3} {2,3} {1, 2,3}}⁶

Wahrscheinlichkeitsverteilung: P= 1/3 dafür, dass eine bestimmte Person auf einer bestimmten Etage aussteigt und 2/3 dafür, dass sie nicht aussteigt.

Ist das so richtig???

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Das ist schon besser. Ein Ergebnis \((1,2,3,1,2,1)\in \Omega\) gibt dann also an, in welcher Etage die Personen aussteigen. Der Ereignisraum enthält dann alle Ereignisse auf diesem Ergebnisraum, also auch unmögliche Ereignisse, wo eine Person in mehreren Etagen aussteigt.

Wie genau das bei der Aufgabe nun verlangt ist, weiß ich nicht, allerdings waren deine vorherigen Ausführungen definitiv nicht richtig. Manchmal reicht es dem Dozenten auch aus, wenn man es sprachlich beschreibt.

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Okay…

Muss ich den Wahrscheinlichkeitsraum für jede Teilaufgabe neu bestimmen oder kann ich ihn einmal für die ganze Aufgabe bestimmen?

Da habe ich beim recherchieren nämlich verschiedene Varianten gesehen…