Wie viele mögliche Ereignisse gibt es, wenn die Ergebnismenge genau 3, genau 4 oder genau n Elemente enthält?

Question

Aufgabe: Wie viele mögliche Ereignisse gibt es, wenn die Ergebnismenge genau 3, genau 4 oder genau n Elemente enthält?

Problem/Ansatz: Bei einer Ergebnismenge mit 3 Elementen habe ich 8 mögliche Ereignisse (wenn die Reihenfolge egal ist)

Bei einer Ergebnismenge mit 4 Elementen habe ich 15 mögliche Ereignisse.

Ich habe geschaut, ob sich damit eine Formel für n Elemente aufstellen lässt und bin auf folgendes gekommen:

ιEι = ιΩι² - 1

Also die Anzahl möglicher Ereignisse ist gleich der quadrierten Anzahl der Elemente der Ergebnismenge, von der dann 1 abgezogen wird. Stimmt das?

Answer 1

Ich habe geschaut, ob sich damit eine Formel für n Elemente aufstellen lässt und bin auf folgendes gekommen:

ιEι = ιΩι² - 1

Das funktioniert bereits für ein Ergebnis n = 1 nicht oder?

Und bei 4 Ergebnissen hat man 16 Ereignisse

{} ; {1} ; {2} ; {3} ; {4} ; {1, 2} ; {1, 3} ; {1, 4} ; {2, 3} ; {2, 4} ; {3, 4} ; {1, 2, 3} ; {1, 2, 4} ; {1, 3, 4} ; {2, 3, 4} ; {1, 2, 3, 4}

Also eher

ιEι = 2^{ιΩι}

Comments

Was soll beim Würfeln das Ergebnis "die leere Menge" sein?

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Es gibt das Ereignis das eine 7 gewürfelt wird. Das nennt man das unmögliche Ereignis. Das entspricht der Leeren Menge. Das Gegenteil ist das sichere Ereignis. Also es wird eine Zahl von 1 bis 6 geworfen.

Das sichere und das unmögliche Ereignis sind also Gegenereignisse.

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Ach so. Stimmt. :)

Daran hatte ich nicht gedacht.

Answer 2

Deine falsche Annahme besteht darin, dass

16=2^4=4^2 ist.

Anders formuliert bedeutet die Aufgabe herauszufinden, wie viele Teilmengen eine Menge mit n Elementen hat. (Die Menge aller Teilmengen heißt übrigens Potenzmenge.)

Z.B.

n=2: {a,b}

2²=4 Teilmengen: \(\emptyset\), {a},{b},{a,b}

n=3: {a,b,c}

2³=8 Teilmengen:

\(\emptyset\), {a},{b},{a,b} ,

{c}{a,c},{b,c},{a,b,c}

Du siehst, dass die Anzahl der Teilmengen verdoppelt wird.

:-)