wie kann ich das denn machen?

Question

Aufgabe:

Für eine Abbildung α : A −→ B und Teilmenge C ⊆ B definieren wir
α−1(C) = {a ∈ A|α(a) ∈ C}. Seienf:M−→N,g:N−→T AbbildungenundS⊆T.Beweise
(g ◦ f)−1(S) = f−1 g−1(S) .

Problem/Ansatz:

wie mache ich das?

Answer 1

Soll wohl so heißen:  (g ◦ f)⁻¹(S) = f⁻¹ (g⁻¹(S)) .

Bew. wie üblich mit :

Sei x∈ 1. Menge ==> .... ==> x∈ 2. Menge und umgekehrt.

Ich mach mal vor:

x∈(g ◦ f)⁻¹(S) ==>  x∈  f⁻¹ (g⁻¹(S)) .

Sei also
x∈(g ◦ f)⁻¹(S) ==> Es gibt z∈S mit  (g ◦ f)(x)=z

     ==>   Es gibt y∈N mit f(x)=y und g(y)=z

     Wegen z∈S ==>  y∈  g⁻¹(S)

       Wegen  y∈  g⁻¹(S) und f(x)=y  ==>  x∈  f^-1(g⁻¹(S)) .

Damit ist x∈(g ◦ f)⁻¹(S) ==>  x∈  f⁻¹ (g⁻¹(S)) gezeigt.

So ähnlich argumentierst du auch für die andere Richtung.