A ist eine Matrix. Was heißt denn σ(A)=...?

Question

Hallo :D

ich habe eine kleine Frage wo ich überhaupt nicht weiter komme.

Ich habe eine 3x3 Matrix gegeben. Diese sieht wie folgt aus : A= 2 -2 0

                                                                                                        2 4 0

                                                                                                        2 2 3

Nun soll ich zeigen , dass

σ (A)= {2} ist, nur ich verstehe den Ausdruck σ (A)= {2} überhaupt nicht. Was muss ich da machen? Ist vielleicht der Eigenwert damit gemeint?

Answer 1

Könnte sigma das Spektrum sein? Also die Menge der Eigenwerte von A?

Genauer:

https://de.wikipedia.org/wiki/Eigenwertproblem#Spektrum_und_Vielfachheiten

?

Rechne also alle Eigenwerte von A aus. Wenn da nur 2 rauskommt, ist der Beweis fertig.

Comments

ok.. dann habe ich ein Polynom mit grad 3, d.h dann das ich drei Nullstellen habe das wiederum heißt 3 Eigenwerte und d.h. die menge der eigenwert ist nicht 2 sondern 3.

stimmts?

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Probier mal.

Berechne alle Eigenwerte. Du kannst mit einer Polynomdivision durch (k - 2) beginnen. Die sollte aufgehen, wenn die Behauptung stimmt....

Sonst hast du die Behauptung bereits widerlegt.

Answer 2

σ(A) steht für die Menge der Eigenwerte, das ist nicht die Anzahl der Eigenwerte.

Bei deiner Matrix ist der einzige reelle Eigenwert 3. Also entweder stimmt die Musterlösung nicht, oder du hast bei der Matrix einen Eintrag verwechselt.

Comments

ich kann dir leider nicht ganz folgen mit "Menge der Eigenwerte". Verstehe leider noch nicht so ganz was es bedeutet.

habe aber auch eine andere Matrix die ich mir betrachten muss. Da habe ich allerdings das gleiche Problem.

A= 1 -1 0

     1 3 0

    1 1 2

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Hier stimmt es.

Der einzige Eigenwert ist 2.

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Berechne die Eigenwerte. Kommt da z.B bei einer Matrix M heraus

λ₁=1

λ₂=-2

λ₃=3

Dann schreibst du einfach die Ergebnisse in die geschweifte Klammer:

σ(M)={1,-2,3}

Was hast du denn für Eigenwerte  bei der Matrix

A= 1 -1 0

     1 3 0

    1 1 2

 bereits berechnet? Sehe gerade du hast 2 dort als einzigen Eigenwert heraus.

Dann ist σ(A)={2} richtig.

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danke jetzt habe ich es gecheckt :))

Answer 3

det ( A - x*E ) = - (x-3) * (x^2 - 6x  + 12 )

Der quadratische Faktor hat keine reelle Nullstelle,also 3 der einzige Eigenwert.