Es gibt ein energetisches Gleichgewicht, bei dem das Potential gleich Null ist und es gibt ein Kräfte-Gleichgewicht, bei dem die Gesamkraft gleich Null ist.
Wenn das Potential erst nachher bestimmt werden soll, meint dein Prof mit "Gleichgewichtsabstand" das Kräfte-Gleichgewicht. Das ist sehr einfach zu berechnen, da du nur die Kraft gleich Null setzen musst:
$$\vec F(\vec r_0)=\vec 0$$$$\left(-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{e_0^2}{r_0^3}+\frac{c}{r_0^{11}}\right)\,\vec r_0=\vec 0$$$$-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{e_0^2}{r_0^3}+\frac{c}{r_0^{11}}=0$$$$c(r_0)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{e_0^2}{r_0^3}\cdot r_0^{11}=\frac{e_0^2}{4\pi\varepsilon_0}\cdot r_0^{8}$$