Stellenwertsystem Subtraktionen herleiten

Question

Aufgabe:

Ich hab folgende Aufgabe. Die Rechnungen habe ich gelöst. Den ersten Teil verstehe ich nicht

Text erkannt:

Sei \( g>1 \) eine natürliche Zahl. Seien \( c \) und d natürliche Zahlen mit \( c \geq d \), sowie \( g \)-aldarstellungen \( c=a_{m} a_{m-1} \cdots a_{1} a_{0} \mid g \) und \( d=b_{n} b_{n-1} \). \( \cdots b_{1} b_{0} \mid g \) gegeben. Beschreiben Sie ein allgemein gültiges Verfahren, welches eine \( g \)-aldarstellung von \( c-d \) liefert. Begründen Sie, warum Ihr Verfahren funktioniert. Geben Sie anschliessend g-aldarstellungen der Subtraktionen 7BA02|12 - ABAB|12 ECAOB|16 - DCAOF |16 mit Hilfe Ihres Verfahrens mitsamt ausführlicher Rechnung an.

Comments

Du sollst das Verfahren des schriftlichen Subtrahierens für beliebiges g formulieren.

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Aber wie sieht das aus. kannst du mir hilfen

Answer 1

Man beginnt mit den Einerziffern. Setzt den Übertrag auf 0 und geht dann zur nächsten Ziffer nach links solange beim Subtrahenden noch Ziffern vorhanden sind. Dann sind auch Minuenden noch Ziffern vorhanden,

denn es ist ja \( c \geq d \).

Bei der i-ten Ziffer prüft man, ob a_i ≥ b_i + Übertrag.

Ist dies der Fall, so berechnet man a_i-b_i - Übertrag, merkt sich den Übertrag 0 und hat die i-te Ziffer des Ergebnisses.

Anderenfalls berechnet man a₀+g-b₀ -Übertrag und hat damit die i-te des Ergebnisses. Wegen ao < bo ist das dann jedenfalls mit einer Ziffer darstellbar. Außerdem merkt man sich 1 als neuen Übertrag.

Hat man dies mit der vordersten Ziffer des Subtrahenden gemacht, setzt

man das Verfahren fort solange beim Minuenden noch Ziffern vorhanden sind und benutzt dort an Stelle der Ziffern des Subtrahenden jeweils eine 0.

Comments

Und das reicht als Beweis.

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Ich denke: Ja!

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Wir sollen auf eine summenschreibweise und auf eine Gleichung c-d = mit den Buchstaben e und f kommen so beider addition

Text erkannt:

eine \( g \)-aldarstellung von \( c+d \) aufgrund der folgenden Gleichungen:
\( \begin{aligned} c+d & =\sum \limits_{i=0}^{m} a_{i} \cdot g^{i}+\sum \limits_{i=0}^{m} b_{i} \cdot g^{i} \\ & =\sum \limits_{i=0}^{m}\left(a_{i}+b_{i}\right) \cdot g^{i} \\ & =\left(a_{0}+b_{0}\right) \cdot 1+\sum \limits_{i=1}^{m}\left(a_{i}+b_{i}+f_{i-1}\right) \cdot g^{i}-\sum \limits_{i=1}^{m} f_{i-1} \cdot g^{i} \\ & =\left(e_{0}+f_{0} \cdot g\right) \cdot 1+\sum \limits_{i=1}^{m}\left(e_{i}+f_{i} \cdot g\right) \cdot g^{i}-\sum \limits_{i=1}^{m} f_{i-1} \cdot g^{i} \\ & =\sum \limits_{i=0}^{m} e_{i} \cdot g^{i}+\sum \limits_{i=0}^{m} f_{i} \cdot g^{i+1}-\sum \limits_{i=1}^{m} f_{i-1} \cdot g^{i} \\ & =\sum \limits_{i=0}^{m} e_{i} \cdot g^{i}+f_{m} \cdot g^{m+1} \\ & =\sum \limits_{i=0}^{m+1} e_{i} \cdot g^{i} \end{aligned} \)

Die natürlichen Zahlen \( f_{i} \) stellen den Übertrag dar, der bei der Summe