g-adische Darstellung. Rechnen im 5er System. Dezimalsysteme

Question

Aufgabe:

Hallo Zusammen,

Ich sitze momentan an einer Aufgabe für die Uni, in der ich mehrere Solcher Aufgaben habe:

"Schreiben Sie die Zahl (0,134)5  als vollständig gekürzten Bruch, wobei Zähler und Nenner im Dezimalsystem ausgedrückt werden sollen."(Die 0,034 sind periodisch).

Ich bin mir sehr unsicher bei solchen Aufgabentypen und weiß auch nicht genau, ob ich den richtigen Ansatz verfolge, deswegen würde ich mich sehr über hilfreiche Antworten freuen.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz ist folgender:

0,134 = \( \frac{1}{5} \)  + \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{34}{(125^n)}} \)  //Weil 0,034 sich an der 3 nachkommastelle befinden steht im Summenzeichen als Nenner (5^3)^n

Nun vereinfachen:

\( \frac{1}{5^1} \) + \( \frac{1}{5^1} \)   * \( \frac{34}{5^2} \)  * \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{25^n}} \)

//durch weitere Vereinfachung und "anwenden" der geometrischen Reihe:

\( \frac{1}{5^1} \) + (\( \frac{1}{5^1} \) * \( \frac{34}{5^2} \) * \( \frac{25}{24} \) )

= \( \frac{29}{60} \)

Answer 1

Aloha :)

Dein Ansatz ist richtig, aber du hast dich verrechnet...

$$0,1\overline{34}_5=1\cdot\frac15+\left(3\cdot\frac{1}{5^2}+4\cdot\frac{1}{5^3}\right)+\left(3\cdot\frac{1}{5^4}+4\cdot\frac{1}{5^5}\right)+\left(3\cdot\frac{1}{5^6}+4\cdot\frac{1}{5^7}\right)+\cdots$$$$\phantom{0,1\overline{34}_5}=1\cdot\frac15+\frac{1}{5^3}\left(3\cdot5+4\right)+\frac{1}{5^5}\left(3\cdot5+4\right)+\frac{1}{5^7}\left(3\cdot5+4\right)+\cdots$$$$\phantom{0,1\overline{34}_5}=\frac15+\frac{19}{5^3}+\frac{19}{5^5}+\frac{19}{5^7}+\cdots$$$$\phantom{0,1\overline{34}_5}=\frac15+\frac{19}{5\cdot25}+\frac{19}{5\cdot25^2}+\frac{19}{5\cdot25^3}+\cdots$$$$\phantom{0,1\overline{34}_5}=\frac15+\frac{19}{5}\cdot\left(\frac{1}{25}+\frac{1}{25^2}+\frac{1}{25^3}+\cdots\right)$$$$\phantom{0,1\overline{34}_5}=\frac15+\frac{19}{5}\sum\limits_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{25}\right)^n=\frac15+\frac{19}{5}\left(\sum\limits_{n=\pink0}^\infty\left(\frac{1}{25}\right)^n\pink{-1}\right)$$

Mit der Summenformel für die geometrische Reihe heißt das:$$\phantom{0,1\overline{34}_5}=\frac15+\frac{19}{5}\sum\limits_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{25}\right)^n=\frac15+\frac{19}{5}\left(\frac{1}{1-\frac{1}{25}}-1\right)=\frac15+\frac{19}{5}\left(\frac{25}{24}-1\right)$$$$\phantom{0,1\overline{34}_5}=\frac15+\frac{19}{5}\cdot\frac{1}{24}=\frac{24+19}{5\cdot24}=\frac{43}{120}$$

Comments

Die Summenformel für die geometrische Reihe ist ja gut und schön. Aber geht es so nicht einfacher und weniger fehleranfällig:$$\begin{aligned} x &= 0,1\overline{34}_{5} \\ 5^2 \cdot x &= 13,4\overline{34}_{5}\\ (5^2 -1) x &= 13,4\overline{34}_{5} - 0,1\overline{34}_{5}= 13,3_{5} \\ x &= \frac{13,3_{5}}{24_{10}} = \frac{133_{5}}{120_{10}}\\ &= \left(\frac{1\cdot 5^2 + 3\cdot 5 + 3}{120}\right)_{10}\\ &= \frac{43}{120} \\ \end{aligned}$$