Problem bei Betragsungleichung lösen

Question

Ich glaub, ich hab hier einen Fehler drin, weil beim zweiten Fall glaube ich 2 und nicht 0 rauskommen sollte. Aber ich bin auch zu unsicher in dem Thema und meiner Rechnung, um zu wissen, was ich falsch gemacht habe ^^'

Text erkannt:

a) (2 P.) \( |x-3|+|x+1| \leq 2+x \)
a) \( |x-3|+|x+1|=\left\{\begin{array}{ll}x-3+x+1 & \text { für } x-3+x+1 \geq 0 \\ -(x-3)+(-(x+1)) & \text { für } x-3+x+1<0\end{array}\right. \)
1. Fall: \( x-3+x+1 \geq 0 \)
\( \begin{array}{l} 2 x-2 \geq 0 \\ x \geq 1 \end{array} \)
2. Fall:
\( \begin{array}{l} x-3+x+1<0 \\ 2 x-2<0 \\ x<0 \end{array} \)
\( \begin{array}{ll} |x-3|+|x+1|=\left\{\begin{array}{ll} x-3+x+1 & \text { für } x \geq 1 \\ -(x-3)+(-(x+1)) & \text { für } x<1 \end{array}\right. \\ \text { 1. Fall: } & x-3+x+1+1 \leq 2+x+1 \\ & x-4 \leq 0 \\ & x \leq 4 \\ & R=[1 ; 4[ \end{array} \)
2. Fall:
\( \begin{array}{l} -(x-3)+(-(x+1))+1<2+x+1 \\ -x+3-x-1-1<2+x-1 \\ -3 x<0 \\ x<0 \\ h=[0 ; 1[ \end{array} \)

Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte :]

Comments

Bestimme immer zuerst die Nullstellen der Beträge.

So ergeben sich die notwendigen Fallunterscheidungen.

1. x< -1

2. -1<=x <3

3. x>=3

Answer 1

Hallo,

zunächst mal gibt es drei und nicht nur zwei Fälle:$$1)\quad x-3 \ge 0 \land x+1\ge 0 \implies x \ge 3 \\ 2) \quad x-3 \lt 0 \land x+1\ge 0 \implies -1 \le x \lt 3 \\ 3) \quad x-3 \lt 0 \land x+1\lt 0 \implies x \lt -1$$Tipp: jedesmal wenn für ein X-Wert ein Term in Betragsstrichen zu 0 wird, liegt eine Grenze vor. Die Fälle ergeben sich durch den Bereich rechts (größeres \(x\)) und links (kleineres \(x\)) dieser Grenze. Bei zwei Betragstermen (mit linearen Funktionen für \(x\)) wird der Zahlenbereich in drei Bereiche unterteilt, also sind drei Fälle zu betrachten.

Einer Deiner Fehler liegt in Deinem zweiten Fall (eigentlich Fall 3), wenn beide Terme in den Betragsstrichen kleiner 0 sind:$$x-3 \lt 0 \land x+1\lt 0 \implies x \lt -1\\ \begin{aligned} -(x-3) - (x+1) &\le 2 + x \\ -2x + 2 & \le 2+ x \\ -3x \le 0 \\ \implies x& \gt 0\end{aligned}$$das ist aber ein Widerspruch zur Voraussetzung \(x\lt-1\). Damit gibt es hier gar keine Lösung \(\mathbb{L}_{3} = \{\}\).

Aber schon der erste Fall ist falsch. Korrekt ist $$1)\quad x-3 \ge 0 \land x+1\ge 0 \implies x \ge 3 \\ \begin{aligned} +(x-3) + (x+1) &\le 2+ x \\ 2x - 2 &\le 2+ x &&|\, - x+2 \\ x &\le 4 \\ \mathbb{L}_1 &= \{x \in \mathbb{R}|\space 3 \le x \le 4\}\end{aligned}$$Versuche den zweiten Fall (s.o.) mal allein. Die Lösung wäre \(x \ge 2\).

Hier siehst den Graphen der linken Seite in rot und den der rechten Seite der Ungleichung in blau.Nur im Bereich von \([2\dots 4]\) liegt die rote Kurve unter der blauen.

https://www.desmos.com/calculator/bvunpd3g2a

Gruß Werner

Comments

Vielen vielen Dank, das hat mir ungemein geholfen ^^
Für den 2. Fall habe ich es nun so:
-(x-3)+(x+1) ≤ 2+x
4 ≤ 2+x
x ≥ 2
L = {x∈R | 2 ≤ x < 3}

Womit der ganze Lösungsbereich der Ungleichung bei L = {2 ≤ x < 4} liegen müsste, oder?

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Für den 2. Fall habe ich es nun so: ... \(L = \{x∈R | 2 ≤ x < 3\}\)

das ist richtig.

Womit der ganze Lösungsbereich der Ungleichung bei L = {2 ≤ x < 4} liegen müsste, oder?

kleine Korrektur: \(\mathbb{L}=\{2 \le x {\color{red}\le} 4\}\). Siehe die Lösung für den 1.Fall in meiner Antwort.