Einfache Zinsen Aufgabe, Zeit n gesucht

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Anton hat ein Sparbuch mit einem fixen Zinssatz i mit einer einmaligen Einlage von \( 1500,00 € \) angelegt. 25 Jahre später löst er das Sparbuch auf und stellt fest, dass sich das Anfangskapital verdoppelt hat. In welcher Zeit hätte sich das Anfangskapital verdoppelt, wenn der Zinssatz
a) um \( 1 \% \) höher gewesen wäre?
b) um 0,5 \% niedriger gewesen wäre?

Text erkannt:

Berechnung des Endkapitals mithilfe der Zinseszinsrechnung
\( \mathrm{K}_{\mathrm{n}}=\mathrm{K}_{0} \cdot(1+\mathrm{i})^{\mathrm{n}} \quad \mathrm{K}_{\mathrm{n}} \ldots \). Endkapital nach \( \mathrm{n} \) Jahren, \( \mathrm{i} \ldots \) Jahreszinssatz

Problem/Ansatz:

Aufgabe a)

Ich habe zuerst den Prozentsatz berechnet und erhielt i = 2,8113.

Dann habe ich 1 Prozent hinzugefügt und anschließend die Formel oben nach n (Zeit) gelöst.

Aber leider habe ich ein völlig falsches Ergebnis erhalten, irgendwas mit 0, ...

Können Sie mir dabei helfen?

Lösung a) 18,530 Jahre"

Answer 1

wenn der Zinssatz
a) um 1% höher gewesen wäre?

Gemeint ist "wenn der Zinssatz um 1 Prozentpunkt höher gewesen wäre".

a) Löse die Gleichung 1,038113ⁿ = 2.

b) Löse die Gleichung 1,023113ⁿ = 2.

Comments

Kannst du bitte erkläre wie du auf diese Gleichung gekommen bist, bzw. was ist dein i ganz am Anfang? Danke

---

Wenn sich das Anfangskapital \(K_0\) bei einem Wachstumsfaktor von \(q\) nach \(n\) Jahren verdoppelt, dann ergib das die Gleichung

        \(K_0\cdot q^n = 2K_0\).

Division durch \(K_0\) liefert

        \(q^n = 2\).

Das Anfangskapital ist also für die Berechnung irrelevant.

In Teilaufgabe a) ist

        \(q = 1 + i + \frac{1}{100}\)

und in Teilaufgabe b) entsprechend

        \(q = 1 + i - \frac{0,5}{100}\).

---

Das mit q habe ich noch gar nicht gelernt, kenne nur die Formel die da oben steht, ich habe folgendes versucht:

3000(weil 2xAnfangskapital)  = 1500(1+i)^25

Hier kann ich nach i lösen und danach einmal i und 1% erhöhen und ein einmal um 0,5% verringern danach nach n lösen.

Funktioniert es auch so?

---

Der Term \(1+i\) in deiner Formel heißt Wachstumsfaktor und wird oft mir \(q\) abgekürzt.

Übrigens, geh bitte etwas sorgsamer mit dem Prozentzeichen um. Der Zinssatz ist \(i = 2,8113\,\% = 0,028113\).