Ähnlichkeit von Dreiecken mit Umkreismittelpunkt zeigen

Question

Aufgabe:

Hallo zusammen,

ich habe ein Dreieck XYZ gegeben. An den Seiten werden nach außen jeweils zueinander ähnliche Dreiecke errichtet. Einer der drei Winkel ist dabei genau einmal "an der äußeren Spitze". Die Umkreismittelpunkte P, Q, R sind die Umkreismittelpunkte der drei ähnlichen Dreiecke. Nun soll man zeigen, dass das Dreieck PQR auch ähnlich zu den drei Dreiecken ist.

Ich habe leider schon mehrere Stunden über dieses Problem nachgedacht, aber keine Idee führt zum Erfolg. Hat vielleicht jemand eine Idee? Ich wäre sehr dankbar.

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Die Spiegelung von Z an QP und die Spiegelung von X an QR führen zum selben Punkt M (nämlich dem gemeinsamen Schnittpunkt der drei Umkreise).
Die Winkel XQM und MQZ werden durch QR und QP jeweils halbiert, die Winkel RQM umd MQP sind jeweils eine Hälfte, also ist der Winkel β (ganz außen) als halber Zentrumswinkel über der Sehne ZX gleich dem Winkel RQP.

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Ok super, das habe ich soweit verstanden. Das einzige, das mir noch nicht so einleuchtet ist: Warum werden die Winkel XQM und MQZ durch QR und QP halbiert? Ich habe es eingezeichnet und sehe es, jedoch habe ich es noch nicht ganz verstanden.

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Ach, da M ja durch die Spiegelung von Z an QP entsteht. Super, jetzt hab ich alles verstanden. 1000 Dank.

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Als Korrekteur würde ich für meine Behauptung, dass die drei Umkreise einen gemeinsamen Schnittpunkt haben, eine Begründung verlangen.

Answer 1

Deine Skizze entspricht nicht der Forderung: 'Einer der drei Winkel ist dabei genau einmal "an der äußeren Spitze".' Bei dir liegen α, β und γ dort, wo ich "die äußere Spitze" sehe.

Und dann kann allenfalls gezeigt werden, dass PQR zu XYZ ähnlich ist.

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Die Skizze entspricht der Forderung sehr wohl und ist gleichwertig zu der Forderung, dass sich für die angetragenen Winkel α, β und γ eine Summe von 180° ergeben soll.

Die von dir behauptete Ähnlichkeit lässt sich nicht folgern.

Aber immerhin ist die Frage jetzt beantwortet.

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Zusatz : Die Skizze legt nahe, dass bei X zweimal der Winkel α angetragen werden soll. Das ist nicht erforderlich und wird im Text auch nicht verlangt. Die in der Aufgabenstellung behauptete Ähnlichkeit liegt auch dann vor, wenn dort zwei unterschiedliche Winkel angetragen werden.

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Zusatz 2 : Meine obige Formulierung des "Antragens" rührt daher, dass ich mir die Situation zunächst mithilfe von GeoGebra klargemacht habe: Start mit Dreieck XYZ (so wie im Aufgabentext vorgegeben) und dann surch Antragen der Winkel (dabei dachte ich zunächst irrtümlich, dass beide Winkel α bei X angetragen werden müssten) Herstellung der Figur aus der Skizze.
Gemeint ist aber wohl eher eine Schere-Papier-Konstruktion : Schneide drei (fast) beliebige ähnliche Dreiecke aus, markiere die entsprechenden Winkel α, β, γ und Seiten a1,b1,c1, a2, ..., c3 in der üblichen Weise. Wähle dann eine der Seiten a, eine der Seiten b und eine der Seiten c und lege aus diesen ein Dreieck (in obiger Skizze mit Eckpunkten XYZ bezeichnet), dabei dürfen die ausgeschnittenen Dreiecke mit Vorder- oder Rückseite verwendet werden. (Sollte das nicht funktionieren, muss eines der Dreiecke entsprechend angepasst werden - deshalb oben das "fast".)