Zeige, dass die Folge streng monoton steigend ist.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Zeige, dass die Folge streng monoton steigend ist.

Text erkannt:

b) \( a_{n}=\frac{3 n-7}{8+5 n} \)

Problem/Ansatz:

Hey Leute, könnt ihr mir bitte bei dieser Aufgabe helfen? Danke im voraus!

Comments

Es ist \(a_n=\dfrac{3n-7}{5n+8}=\dfrac35-\dfrac{59}{25n+40}\). Daran sieht man die Monotonie direkt.

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Wie bist du auf 59 gekommen?

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Ich schätze, er hat mit 5 erweitert zu

\(a_n=\dfrac{15n-35}{25n+40}=\dfrac{15n+(24-24)-35}{25n+40}=\dfrac{15n+24}{25n+40}-\dfrac{59}{25n+40}\).

Der vordere Bruch lässt sich zu 3/5 kürzen.

Vielleicht hat er auch einfach die Polynomdivision gemacht.

Answer 1

Bilde den Term \(a_{n+1}-a_n\) und vereinfache ihn nach den bekannten Regeln der Bruchrechnung. Wenn dieser vereinfachte Term >0 ist, dann ist \(a_{n+1}>a_n\) und die Folge somit steigend.

Kontrollergebnis: die genannte Differenz ist \( \frac{4}{(13+5n)(8+5n)} \).

Comments

\( \frac{3n-7}{8+5n} \)≤ \( \frac{3(n+1)-7}{8+5(n+1)} \)

Meinst du so?

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Na ja, das ist die zu untersuchende Behauptung.

Dazu solltest du

\( \frac{3(n+1)-7}{8+5(n+1)} -\frac{3n-7}{8+5n}\) bilden und auswerten.