Zeigen Sie, dass g streng monoton steigend sein muss. (Zwischenwertsatz)

Question

Aufgabe:

Sei g: (-∞,α ] -> (-∞, β] stetig und injektiv mit g (α) =β. Zeigen Sie, dass g streng monoton steigend sein muss.

Problem/Ansatz

Ich weiß, dass man mit dem zwischenwertsatz arbeiten muss, aber leider bekomme ich es absolut nicht hin.

Answer 1

Sei ξ < α und B = {g(x) | x ∈ [ξ, α]}.

Sei m = min(B). m existiert laut Satz vom Maximum und Minimum.

Angenommen m < g(ξ). Sei dann ρ ∈ (ξ, α] mit g(ρ) = m. Wegen des Zwischenwertsatzes gibt es ein τ ∈ [ρ, α] mit g(τ) = g(ξ). Wegen ρ ≠ ξ ist g dann nicht injektiv.

Also muss m ≥ g(ξ) sein. Wegen g(ξ) ∈ B muss dann m = g(ξ) sein. Die Funktion g bildet also das Intervall [ξ, α] auf das Intervall [g(ξ), g(α)] ab (vgl. f: x↦x² bildet das Intervall [-1, 2] nicht auf das Intervall [f(-1), f(2)] ab).

Insbesondere ist dann g(ρ) > g(ξ) für alle ρ ∈ (ξ, α].