Zeigen Sie, dass die Folge streng monoton steigend ist. Wie?

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Folge (a_n)n∈ℕ mit
a_n = \( \frac{n}{n+1} \)
a) Zeigen Sie, dass die Folge streng monoton steigend ist, d.h. dass a_n+1 > a_n für alle n ∈ ℕ gilt.
b) Ist die Folge beschränkt? Begründen Sie Ihre Antwort.

Problem/Ansatz:

Leider komme ich mit der Aufgabe nicht zurecht. Kann mir jemand erklären wie ich zeige, dass die Folge streng monoton steigend ist ? Wie bestimme ich ob die Folge beschränkt ist ?

für die Hilfe!

Answer 1

a(n+1) > a(n)

(n + 1)/((n + 1) + 1) > n/(n + 1)

(n + 1)/(n + 2) > n/(n + 1)

(n + 1)·(n + 1) > n·(n + 2)

n^2 + 2·n + 1 > n^2 + 2·n

1 > 0

Comments

b) Ist die Folge beschränkt? Begründen Sie Ihre Antwort.

n/(n + 1) < 1
n < n + 1
0 < 1

Answer 2

a)

$$a_{n+1}= \frac{n+1}{n+2} > \frac{n}{n+1}=a_n$$

Denn im linken Bruch fehlt zum Ganzen weniger als im rechten.

Links fehlt 1/(n+2) rechts 1/(n+1)

Wenn der Zähler gleich ist , ist der Bruch größer, dessen Zähler kleiner ist.

b) Die Folge ist beschränkt, da sie nie ein Ganzes erreicht, immer fehlt ein (n+1)-tel von 1.