G → Aut(G) mit g → φg ist ein Gruppenhomomorphismus. Man zeige an Beispielen: Die Abbildung i.A. ...

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Die Abbildung \( G \rightarrow \operatorname{Aut}(G) \) mit \( g \mapsto \varphi_{g} \) ist ein Gruppenhomomorphismus. Man zeige an Beispielen, dass die Abbildung i.A. weder injektiv noch surjektiv ist.

Problem/Ansatz:

Nicht injektiv:
Ich hätte φg(x) = gxg^(-1) definiert mit g,x ∈ G und φa(x) = axa^(-1) = x mit g=a. Dann würde x durch gxg^-1 und axa^-1 abgebildet. Stimmt das so?

Nicht Surjektiv:
Hier weiß ich es komplett nicht.

Comments

g=a

ist doch ganz gewiss nicht Sinn der Sache. Im Gegenteil: du sollst eine Gruppe G finden und darin zwei Elemente g und a, so dass zwar g ≠ a aber dennoch φg = φa ist, also dass für alle x∈G die Bilder φg(x) und φa(x) übereinstimmen.

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φa(x) = axa^(-1) = x und φg(x) = gxg^(-1) = x gilt doch auch für g ≠ a oder nicht weil a^-1 das inverse zu a und g^-1 das inverse zu g ist. Dann gilt das doch immernoch? Ist das dann ein Beipiel im Sinne der frage oder nicht?

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Ist das dann ein Beipiel im Sinne der frage oder nicht?

Ja, falls z.B. die Gruppe abelsch ist, dann ist es eins.

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Nein, es ist nicht abelsch. Wie würde dann ein Beispiel aussehen?

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Nein, es ist nicht abelsch

Was "es" ist, kannst du dir doch aussuchen.Du kannst dir (sofern die Aufgabe oben vollständig widergegeben ist) auch eine abelsche Gruppe aussuchen.

Wenn es das aber partout nicht sein soll :
Die Hauptsache an deinem Beispiel ist doch, dass g und a mit allen x kommutieren. In der multiplikativen Gruppe der regulären 2×2-Matrizen gibt es welche, die das tun.

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Ich probiere zu verstehen was damit gemeint ist, komme aber nicht ganz dahinter. Ich befürchte ich brauche ein direktes Beispiel.