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Aufgabe:

Faktorisieren Sie die folgenden Polynome:

1. p(x)= x^5-7x^4+9x³+9x²+8x+16 mit den Nullstellen -1 und 4. Wenden Sie das kaskadierte Hornerschema an.


Problem/Ansatz:

Ich habe nun das Horner Schema für die erste Nullstelle angewendet. Muss man nun das selbe für die zweite Nullstelle anwenden? Und wie kommt man dann auf die Linearform (Aufgabenstellung faktorisieren)

IMG_8893.jpeg

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Aloha :)

Das folgende Polynom soll mit dem Horner-Schema faktorisiert werden:$$f(x)=x^5-7x^4+9x^3+9x^2+8x+16$$Als Nullstellen sind uns \((-1)\) und \((+4)\) bekannt.

Wir dividieren daher das Polynom \(f(x)\) durch \((x+1)\) mit dem Horner-Schema:$$\begin{array}{rrrrrrrrrrr}1 & &-7 & & 9 & & 9 & & 8 && 16\\\hline\downarrow&\cdot(-1) & -1 &\cdot(-1) & 8 &\cdot(-1) & -17 &\cdot(-1) & 8 &\cdot(-1) & -16\\\downarrow&\nearrow &\downarrow & \nearrow & \downarrow & \nearrow & \downarrow & \nearrow & \downarrow & \nearrow & \downarrow\\\hline 1 & & -8 & & 17 & & -8 & & 16 & & 0\end{array}$$

Daraus lesen wir ab:$$f(x)=(x+1)\cdot(x^4-8x^3+17x^2-8x+16)$$

Die zweite Nullstelle \((+4)\) muss für das verbliebene rechte Polynom gelten. Wir dividieren dieses daher mit dem Horner-Schema durch \((x-4)\):$$\begin{array}{rrrrrrrrr}1 & &-8 & & 17 & & -8 & & 16\\\hline\downarrow&\cdot\,4 & 4 &\cdot\,4 & -16 &\cdot\,4 & 4 &\cdot\,4 & -16\\\downarrow&\nearrow &\downarrow & \nearrow & \downarrow & \nearrow & \downarrow & \nearrow & \downarrow\\\hline 1 & & -4 & & 1 & & -4 & & 0\end{array}$$

Daraus lesen wir die weitere Zerlegung ab:$$f(x)=(x+1)\cdot(x-4)\cdot(x^3-4x^2+x-4)$$

Wenn wir nun in das verbliebene Polynom in der rechten Klammer die bekannten Nullstellen einsetzen, finden wir, dass \(4\) wieder eine Nullstelle des letzten Polynoms ist. Die \(4\) ist also eine doppelte Nullstelle. Daher bemühen wir nochmal das Horner-Schema, um das letzte Polynom durch \((x-4)\) zu dividieren:$$\begin{array}{rrrrrrr}1 & &-4 & & 1 & & -4\\\hline\downarrow&\cdot\,4 & 4 &\cdot\,4 & 0 &\cdot\,4 & 4\\\downarrow&\nearrow &\downarrow & \nearrow & \downarrow & \nearrow & \downarrow\\\hline 1 & & 0 & & 1 & & 0\end{array}$$

Damit haben wir schließlich die finale Zerlegung gefunden:$$f(x)=(x+1)\cdot(x-4)^2\cdot(x^2+1)$$

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Jetzt habe ich es verstanden, Danke,

Das ist kein kaskadierendes Hornerschema.

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Ich habe nun das Horner Schema für die erste Nullstelle angewendet.

Dadurch bist du zu

        \(\begin{aligned}&x^5-7x^4+9x^3+ 9x^2 +8x+ 16\\=\,&(x+1)(x^4-8x^3+17x^2-8x+16)\end{aligned}\)

gekommen.

Wende das Horner-Schema mit der Nullstelle \(4\) auf das Polynom \(x^4-8x^3+17x^2-8x+16\) an um das ursprüngliche Polynom weiter in die Form

        \((x+1)(x-4)(x^3+\ldots - 4)\)

zu zerlegen

Avatar von 107 k 🚀
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\(p(x)= x^5-7x^4+9x^3+9x^2+8x+16 \)  mit den Nullstellen \(-1\) und \(4\).

Falls das kaskadierte Hornerschema nicht verlangt ist:

Polynomdivision:

\(( x^5-7x^4+9x^3+9x^2+8x+16):(x^2-3x-4)=x^3 - 4x^2 + x - 4 \) 

\(( x^5-7x^4+9x^3+9x^2+8x+16):(x^2-3x-4)=x^3 - 4x^2 + x - 4 \)

\(T_4=[1,-1, 2,-2,4,-4]\)   Ausprobieren ergibt \(x=4\)

Polynomdivision:

\((x^3 - 4x^2 + x - 4):(x-4)=x^2+1 \)

\(p(x)= x^5-7x^4+9x^3+9x^2+8x+16=(x+1)(x-4)(x-4)(x^2+1) \)



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In der Mathematik wird gerechnet und nicht geraten.

\( x^3-4x^2+x-4 = \left(x-4\right)x^2+\left(x-4\right) = \left(x-4\right)\left(x^2+1\right) \)

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