Aloha :)
Das folgende Polynom soll mit dem Horner-Schema faktorisiert werden:$$f(x)=x^5-7x^4+9x^3+9x^2+8x+16$$Als Nullstellen sind uns \((-1)\) und \((+4)\) bekannt.
Wir dividieren daher das Polynom \(f(x)\) durch \((x+1)\) mit dem Horner-Schema:$$\begin{array}{rrrrrrrrrrr}1 & &-7 & & 9 & & 9 & & 8 && 16\\\hline\downarrow&\cdot(-1) & -1 &\cdot(-1) & 8 &\cdot(-1) & -17 &\cdot(-1) & 8 &\cdot(-1) & -16\\\downarrow&\nearrow &\downarrow & \nearrow & \downarrow & \nearrow & \downarrow & \nearrow & \downarrow & \nearrow & \downarrow\\\hline 1 & & -8 & & 17 & & -8 & & 16 & & 0\end{array}$$
Daraus lesen wir ab:$$f(x)=(x+1)\cdot(x^4-8x^3+17x^2-8x+16)$$
Die zweite Nullstelle \((+4)\) muss für das verbliebene rechte Polynom gelten. Wir dividieren dieses daher mit dem Horner-Schema durch \((x-4)\):$$\begin{array}{rrrrrrrrr}1 & &-8 & & 17 & & -8 & & 16\\\hline\downarrow&\cdot\,4 & 4 &\cdot\,4 & -16 &\cdot\,4 & 4 &\cdot\,4 & -16\\\downarrow&\nearrow &\downarrow & \nearrow & \downarrow & \nearrow & \downarrow & \nearrow & \downarrow\\\hline 1 & & -4 & & 1 & & -4 & & 0\end{array}$$
Daraus lesen wir die weitere Zerlegung ab:$$f(x)=(x+1)\cdot(x-4)\cdot(x^3-4x^2+x-4)$$
Wenn wir nun in das verbliebene Polynom in der rechten Klammer die bekannten Nullstellen einsetzen, finden wir, dass \(4\) wieder eine Nullstelle des letzten Polynoms ist. Die \(4\) ist also eine doppelte Nullstelle. Daher bemühen wir nochmal das Horner-Schema, um das letzte Polynom durch \((x-4)\) zu dividieren:$$\begin{array}{rrrrrrr}1 & &-4 & & 1 & & -4\\\hline\downarrow&\cdot\,4 & 4 &\cdot\,4 & 0 &\cdot\,4 & 4\\\downarrow&\nearrow &\downarrow & \nearrow & \downarrow & \nearrow & \downarrow\\\hline 1 & & 0 & & 1 & & 0\end{array}$$
Damit haben wir schließlich die finale Zerlegung gefunden:$$f(x)=(x+1)\cdot(x-4)^2\cdot(x^2+1)$$
