Aufgabe:
Sei nun \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) eine Matrix. Weiter existiere eine untere Dreiecksmatrix \( L \in \mathbb{R}^{n \times n} \), sodass \( A=L L^{T} \) gilt. Zeigen oder widerlegen Sie:
(ii) \( A \) ist symmetrisch positiv definit genau dann, wenn \( L \) regulär ist.
(iii) \( A \) ist symmetrisch positiv definit genau dann, wenn \( l_{i i} \neq 0 \forall i=1, \ldots, n \).
(iv) Es existiert eine untere Dreiecksmatrix \( \tilde{L} \neq L \operatorname{mit} A=\tilde{L} \tilde{L}^{T} \).
Problem/Ansatz:
Ich finde irgendwie nicht die richtigen Beispiele um die Sachen zu widerlegen. ii) sollte falsch sein und iii) richtig.
Bei iv) ist es doch so, dass die Cholesky Zerlegung eindeutig ist und damit gibt es ein solches L tilde nicht oder?
