Bestimmen Sie eine Matrix B ∈ R 3×3, sodass gilt B hoch drei die gegebene Matrix ergibt.

Question

Wie löst man diese Aufgabe?

Aufgabe:

Bestimmen Sie eine Matrix B ∈ R 3×3, sodass gilt

B³ =  \( \begin{pmatrix} -13 & 0 &-14 \\ 0 & -1 & 0 \\ -14 & 0 & -13\end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe wirklich keine Ahnung wie ich da vorgehen soll, ich vermute aber, dass ich durch Basen an die Lösung herankomme.

Answer 1

Du solltest erkennen, dass diese Matrix symmetrisch ist. Nach dem Spektralsatz ist sie also diagonalisierbar. Berechne also eine Diagonalmatrix D und eine Transformationsmatrix S, s.d.

$$ B^3 = \begin{pmatrix} -13 & 0 &-14 \\ 0 & -1 & 0 \\ -14 & 0 & -13\end{pmatrix} = S^{-1} D S $$

dann ist ja

$$ D = \begin{pmatrix} d_1 \\ & d_2\\ && d_3 \end{pmatrix} $$

Wenn du dann

$$ \tilde D := \begin{pmatrix} \sqrt[3]{d_1} \\ & \sqrt[3]{d_2}\\ && \sqrt[3]{d_3} \end{pmatrix} $$

setzt gilt

$$ B^3 = S^{-1} D S = S^{-1} \tilde{D}^3 S = (S^{-1} \tilde D S)^3 $$

Überprüfen kannst du deine Rechnungen hier: https://matrixcalc.org/de/

Comments

Ahhhh ok, das die Symmetrisch ist habe ich voll verpeilt:)

Answer 2

Es geht mit Sicherheit einfacher, aber man könnte
$$B=\begin{pmatrix} a& b &c\\ b & d & b \\ c & b & a\end{pmatrix}$$ ansetzen, damit B³ berechnen und einen Koeffizientenvergleich machen.