Die Graphen beider Funktionen schneiden einander

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Funktionen:

f) f(x)=5(x^2-2x-15)

g) f(x)= ax^3+bx^2+cx

Die Graphen beider Funktionen schneiden einander auf der x-Achse.

Im rechten Schnittpunkt fallen die Tangenten an die beiden Kurven zusammen.

Problem/Ansatz:

Diskutieren die Funktion g ohne Wendetangente und Zeichen die Graphen von f und g in [-3.5/5,5] .

(Einheit auf der x-Achse: 1cm,Einheit auf der y-Achse: 1mm)

Wie findet man  Funktion von g?

Vielen Dank im Voraus !!!

Answer 1

Gegeben sind die Funktionen:
f(x)=5(x²-2x-15)
g(x)= ax³+bx²+cx =x·(ax²+bx+c)

Da zwei Nullstellen von g die gleichen sind, wie von f, muss gelten:

g(x)=ax(x²-2x-15)

außerdem muss f '(x)=g'(x) gelten:     a·(3·x²  - 4·x - 15) = 10·(x - 1)

und zwar an der Stelle x=5, also       a·(3·5²  - 4·5 - 15) = 10·(5- 1)

und daher a=1, also g(x)=x(x²-2x-15).

Comments

Da zwei Nullstellen von g die gleichen sind, wie von f

Das solltest du erst mal nachweisen.

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Original-Textzitat:

Die Graphen beider Funktionen schneiden einander auf der x-Achse.

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Das Zitat heißt eben nicht  .. schneiden einander nur auf der x-Achse..., was ihr beide aber eben mal einfach so benutzt.

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@Gast hj2166

Du hast zwar recht, aber trotzdem würde ich auch denken das es genau so gemeint ist, wie die anderen es interpretiert haben. Ansonsten gäbe es ja auch keine eindeutige Lösung von g und dann könnte man auch nicht DIE Funktion g diskutieren.

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@Gast hj2166: Die beiden Nullstellen (5 und -3) von f sind gegeben.Von g ist ist die Nullstelle 0 bekannt. Der Graph einer Polynomfunktion dritter Ordnung kann den Graphen einer Polynomfunktion zweiter Ordnung in maximal 3 Punkten schneiden. Die Schnittpunkte liegen insbesondere auf der x-Achse. Es ist von einem rechten Schnittpunkt die Rede. Dann muss es mindestens einen weiteren geben. Dieser kann nicht bei x=0 liegen.

Alles was du schreibst ist mal wieder reine Rechthaberei und ohne Gewinn für jemanden in diesem Forum.

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Man kann aus meinen Beiträgen im Gegenteil immer sehr viel Gewinn ziehen. Hier kann man z.B. lernen, dass man Aufgabentexte genau lesen soll, aber das tust du nicht (weder lesen noch lernen).

Answer 2

f hat die Nullstellen -3 und 5 , also gilt

g(x) = ax^3+bx^2+cx  = ax*( x^2 + b/a * x + c/a ) ==>  b/a = -2  und c/a = 15

Tangente an f in (5/0) ist   y = mx + n mit  m= f ' (5) = 40

Tangente an g in (5/0) ist   y = mx + n mit  m= g ' (5) = 75a + 10b + c

==>   75a + 10b + c = 40  zusammen mit  b/a = -2  und c/a = - 15

gibt das a=1 und b = -2  und c=-15

Sieht so aus :

~plot~ x^3-2*x^2-15*x;5*(x^2-2*x-15);[[-3.5|5.5|-100|50]] ~plot~

Comments

Abgesehen vom Rechenfehler :  Bist du sicher, dass das "nur" in der Aufgabenstellung wirklich überflüssig ist ?

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Refe behoben, Welches "nur" ?

Answer 3

f ( x) = 5(x^2 - 2x - 15)
Nullstellen = Schnittpunkte
( -3 | 0 )
( 5 | 0 )
f ´ ( x ) = 5 * (2x - 2)
f ´( 5 ) = 40

g ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c*x
g ( -3 ) = 0
g ( 5 ) = 0
g ´( 5 ) = 40

Lineares Gleichungssystem aufstellen und lösen
a = 1
b = -2
c = -15
g ( x ) = x^3  - 2 * x^2 -15 *x

Bei Bedarf nachfragen,

Answer 4

Mit  a = 1,5625 ,  b = -2,8125 ,  c = -22,5  sind alle Forderungen der Aufgabenstellung erfüllt.