Matrix Diagonalisieren - Gauss-Verfahren- Symmetrische Umformungsmethode

Question

Aufgabe: Hallo, ich habe folgendes Problem:

Unser Professor hat uns folgendes Beispiel für die symmetrische Umformungsmethode gegeben:

A = \( \begin{pmatrix} 1 & 4  & 4\\ 4 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & 2 \end{pmatrix} \)

Besagte Formel zum Diagonalisieren lautet, wie bereits in anderen Fragen von mir ausführlich besprochen: D = C^t * A * C.

Wobei C die erweiterte Elementarmatrix mit zusätzlichem Eintrag darstellt, der dafür sorgt, dass in A eine 0 entsteht, wenn man sie von links bzw. rechts dranmultipliziert. So ist der Weg zur Diagonalmatrix.

Mein Professor kommt mit Gauss nun auf die erste C-Matrix, indem er folgendes bei A rechnet: 1. Zeile bleibt gleich. Neue 2. Zeile = (-4) * 1. Zeile + 2. Zeile. Neue 3. Zeile: (-4) * 1. Zeile + 3. Zeile. Mit den letzten beiden Umformungen entstehen dadurch 2 0en in A, nämlich die auf der linken Seite. Daraus leitet er die erste C-Elementarmatrix ab:

C₁^t = \( \begin{pmatrix} 1 & 0  & 0\\ -4 & 1 & 0\\ -4 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)  und entsprechend C = \( \begin{pmatrix} 1 & -4  & -4\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \).

Wenn ich diese Matritzen nun von links und rechts an A dran multipliziere, dann verschwinden die 4en von A und es entstehen 0en, so wie es sein soll.

Problem/Ansatz:

Bei dieser Matrix B = \( \begin{pmatrix} -9 & 4  & 1\\ 4 & 1 & -3 \\ 1 & -3 & 9 \end{pmatrix} \)  möchte ich genau so vorgehen.

Wenn ich die erste Zeile von B so lasse, und die zweite neue Zeile = (-4) * 3. Zeile + 2. Zeile rechne, und die dritte Zeile so lasse, verschwindet die 4 links, die unter der -9 ist.

Die erste C^t-Matrix würde dann eben lauten: \( \begin{pmatrix} 1 & 0  & 0\\ -4 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \).

Doch wenn ich jetzt diese Matrix an B von links dran multipliziere, entsteht folgende Matrix:

\( \begin{pmatrix} -9 & 4  & 1\\ 40 & -15 & -7 \\ 1 & -3 & 9 \end{pmatrix} \) . Also entsteht da leider keine 0, statt dessen wir daraus eine 40.

Und ich weiß einfach nicht wieso. Seit Wochen hänge ich da dran, wie ich auf die richtigen C-Matritzen komme. Ich verzweifle so langsam, und bald ist Prüfung.

Sieht jemand, wo mein Fehler liegt???

Comments

Neu zweite = Zweite - 4*Dritte

Also ist

$$ C^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 &0\\ 0&1& -4\\0&0&1 \end{pmatrix} $$

bei \( C^T \) machst du nämlich immer dieselben Umformung die du auch bei A machst. Also auch hier: zweite Zeile - 4* dritte Zeile.

Answer 1

Hallo,

Seit Wochen hänge ich da dran, wie ich auf die richtigen C-Matritzen komme. Ich verzweifle so langsam

Ich hatte doch schon hier beschrieben, wie Du zu der Matrix \(C\) kommst. In diesem Fall ist $$B= \begin{pmatrix}-9& 4& 1\\ 4& 1& -3\\ 1& -3& 9\end{pmatrix},\quad C =\begin{pmatrix}1&    4/9  &    1/9  \\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{pmatrix}$$und das Ergebnis ist$$C^T \cdot B \cdot C = \begin{pmatrix}-9& 0& 0\\ 0& 25/9& -23/9\\ 0& -23/9& 82/9\end{pmatrix}$$

was Dein Prof da treibt, muss ich mir heute Abend in Ruhe ansehen.

Bis dann & Gruß Werner

Comments

Ja, das weiss ich. Aber ich glaube, mein Prof will genau den weg sehen, den er benutzt. Weil laut Aufgabenstellung der altklausur: benutzen sie die symetrische umformungsmethode aus der Vorlesung", und so machen die das eben.

Answer 2

Eine gausssche Eliminationematrix für eine Matrix A=(a_ij)

\(\small \Longrightarrow L_{1}=\left(\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{-a_{21}}{a_{11}} & 1 & 0 & 0 \\ \frac{-a_{31}}{a_{11}} & 0 & 1 & 0 \\ \frac{-a_{41}}{a_{11}} & 0 & 0 & 1\end{array}\right) \Longrightarrow L_{1} \cdot A=\left(\begin{array}{rlll}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ 0 & c_{22} & c_{23} & c_{24} \\ 0 & c_{32} & c_{33} & c_{34} \\ 0 & c_{42} & c_{43} & c_{44}\end{array}\right) \)

IST keine Elementarmatrix

tut aber das was der Name sagt....

\(\small \left\{ \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\-4&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right) \; \left(\begin{array}{rrr}1&0&4\\4&-15&2\\4&-14&2\\\end{array}\right)\; \left(\begin{array}{rrr}1&-4&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}1&0&4\\0&-15&-14\\4&-14&2\\\end{array}\right) \right\} \)

und

\(\small \left\{ \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\-4&0&1\\\end{array}\right) \; \left(\begin{array}{rrr}1&0&4\\0&-15&-14\\4&-14&2\\\end{array}\right) \; \left(\begin{array}{rrr}1&0&-4\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&-15&-14\\0&-14&-14\\\end{array}\right)\right\} \)

Rechenhilfe:https://www.geogebra.org/m/yygxzq8p

Comments

Kannst du mir das bitte bitte bitte mit der Mtrix B zeigen??? Um auf die erste C zu kommen. Lg

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für den Link oben ist

Reihenfolge:={1,-1,2,-2,3,-3};

P:{{3, 2, 23 / 9 * 9 / 25}, {3, 1, 1 / 9}, {2, 1, 4 / 9}}

Q:{{1, 2, 4 / 9}, {1, 3, 1 / 9}, {2, 3,23 / 9 * 9 / 25}}

Step 1+2 Zusammengefast

\(\small \left\{ \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\\frac{4}{9}&1&0\\\frac{1}{9}&0&1\\\end{array}\right) \; \left(\begin{array}{rrr}-9&4&1\\4&1&-3\\1&-3&9\\\end{array}\right) \, \left(\begin{array}{rrr}1&\frac{4}{9}&\frac{1}{9}\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right)= \left(\begin{array}{rrr}-9&0&0\\0&\frac{25}{9}&\frac{-23}{9}\\0&\frac{-23}{9}&\frac{82}{9}\\\end{array}\right) \right\} \)

\(\small \left\{ \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&\frac{23}{25}&1\\\end{array}\right) \, \left(\begin{array}{rrr}-9&0&0\\0&\frac{25}{9}&\frac{-23}{9}\\0&\frac{-23}{9}&\frac{82}{9}\\\end{array}\right) \, \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&\frac{23}{25}\\0&0&1\\\end{array}\right)= \left(\begin{array}{rrr}-9&0&0\\0&\frac{25}{9}&0\\0&0&\frac{169}{25}\\\end{array}\right)\right\} \)

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Eine Freundin von mir hat abet folgende Matrix als C verwendet: \( \begin{pmatrix} -1& 0 & 0\\ 4 & 1 & 1 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \). Wieso klappt denn diese Matrix dann auch... dafür hat sie 4 mal die zweite spalte - die erste Spalte gerechnet. Das verwirrt mich so sehr. Ein übungsleiter hat es nämlich glaube ich auch genau so gemacht. Ich schaue gleich in seiner Lösung nach.

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Damit klappt gar nix

\(\small \left\{ \left(\begin{array}{rrr}-1&0&0\\4&1&1\\0&0&1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrr}-9&4&1\\4&1&-3\\1&-3&9\\\end{array}\right)   =  \left(\begin{array}{rrr}9&-4&-1\\-31&14&10\\1&-3&9\\\end{array}\right) \right\} \)

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Sorry, es war doch die Zeile. Also:

B = \( \begin{pmatrix} -9 & 4 & 1 \\ 4 & 1 & 3 \\ 1 & -3 & 9 \end{pmatrix} \).

Nun schreibt man die Einheitsmatrix E₃ rechts daneben. Nun hat sie B so umgeformt, um in der ersten Spalte die 4 wegzubekommen:4 * zweite Spalte - 1. Spalte. Dann verschwindet die 4 in der ersten Zeile von B. (Bis hierhin ist das Vorgehen also wie vom Professor, mit Gauss). Wenn man das nun auch mit der E-Matrix macht, dann hat man ja: C₁ = \( \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \).

Denn:4 * zweite Spalte - 1. Spalte, angewendet in der ersten Spalte, ergibt; 4 * 1 - 0 = 4. So haben wir dann die 4 in C₁.

C₁^t dann entsprechend: \( \begin{pmatrix} -1 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \).

Die -1 kommt ja zu stande, da man ja 0 * 4 - 1 rechnet.

C₁^t * B * C₁ = \( \begin{pmatrix} -1 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) * \( \begin{pmatrix} -9 & 4 & 1 \\ 4 & 1 & 3 \\ 1 & -3 & 9 \end{pmatrix} \) *  \( \begin{pmatrix} - 1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

von links nach rechts erst die ersten beiden multipliziert:  \( \begin{pmatrix} 25 & 0 & -13 \\ 4 & 1 & -3 \\ 1 & -1 & 9 \end{pmatrix} \) * C₁ . So erhält man also auch die 0en. Die Frage ist jetzt, da es ja so etwas leichter ist, als mit Brüchen, die durch Division durch die Elemente der Hauptdiagonale entstehen, zu arbeiten... ... die Frage, wie man diese Werte viel einfacher sieht, bzw. viel einfacher auf diese Werte kommt. Das verwirrt mich eben. Einmal nutzt der Prof Gauss, dann formt der andere Übungsleiter direkt in der Matrix irgendwas um, und dann geht es ja auch mit dem Trick, den Werner mir gezeigt hat.

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\(\small C_1^t \cdot B \cdot C_1 =  \left(\begin{array}{rrr}-25&0&-13\\0&1&-3\\-14&-3&9\\\end{array}\right)   \)

Wenn man es richtig macht,

kann man natürlich die 2. Zeile/Spalte in diesem Fall zur -1. dazu nehnen, man kann aber auch die - 2. Zeile/Spalte zur +1 dazu nehmen und .....

so lange Du keinen Theorie-Hinweis zu dem Thema gibst, macht es keinen Sinn über den Unformungsweg zu spekulieren...

Wenn es nur darum geht eine symmetrische Matrix mit simultanen Zeilen/Spalten-Operationen unzuformen, dann müssen alle Varianten zulässig sein....

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Danke dir. Ich muss mir Gedanken drüber machen, welcher Weg der einfachste und zeitsparendste ist.

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Das ist der, den man "sieht"...

;-)