Basis, so dass zwei quadratische Formen simultan diagonalisierbar sind

Question

Aufgabe:

wie finde ich eine Basis sodass zwei quadratische Formen simultan diagonalisierbar sind?

Aus den quadratischen Formen habe ich folgende symmetrische Matrizen gebastelt.

A = \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \)

B = \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Normalerweise diagonalsiert man eine Matrix indem man die Eigenvektoren berechnet, aber das gestaltet sich insbesondere für die Matrix B schwierig weshalb ich vermute, dass dies nicht die richtige Vorgehensweise ist. Kann mir jemand weiterhelfen?

Danke im Voraus!

Answer 1

vielleicht hilft es einfach mal ein ergebnis zu betrachten

https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#material/upUZg79r

matrix schreibweise {{1,1},{1,2}}

die transformations matrix genauer zu untersuchen und die beiden fälle zu vergleichen?

Answer 2

Was genau verstehst du unter der Diagonalisierung einer quadratischen Form?

Meinst du damit eine Hauptachsentransformation oder die

Existenz einer invertierbaren quadratischen Matrix \(S\),

so dass \(S^TAS\) für die Gram-Matrix \(A\) eine Diagonalmatrix ist?

Eine simultane Diagonalisierung hieße dann, dass es

eine invertierbare Matrix \(S\) gibt, so dass

\(S^TAS\) und \(S^TBS\) beide Diagonalgestalt haben.

wie finde ich eine Basis sodass zwei quadratische Formen simultan diagonalisierbar sind?

interpretiere ich dann so:

wie finde ich eine Basis, bzgl. derer die Gram-Matrizen beider quadratischer

Formen Diagonalgestalt haben.