Partielle-Ableitung der Funktion F(x1,x2,x3)=LN (2x1+x2) + x3^2 * x2^2

Question

wäre einer so gnädig mir zu zeigen wie folgende Funktion partiell abgeleitet wird? Bin schon am verzweifeln.

F(x1,x2,x3)=LN (2x1+x2) + x3^2 * x2^2

Answer 1

Ich hab das Ganze noch einmal etwas ausführlicher dargestellt (du fragtest ja nach dem "WIE"):

 

Bezüglich der partiellen Ableitung nach x₁ sind x₂ und x₃ als Konstanten zu betrachten.
Setze also für die partielle Ableitung nach x₁:

x = x₁
B = x₂
C = x₃

Dann

$$\frac { \partial F }{ \partial { x }_{ 1 } }=\frac { d }{ dx } (ln(2x+B)+{ C }^{ 2 }{ B }^{ 2 })=\frac { d }{ dx } ln(2x+B)+\frac { d }{ dx } { C }^{ 2 }{ B }^{ 2 }$$Erster Summand: Kettenregel ("Innere Ableitung mal äußere Ableitung"), zweiter Summand ist konstant, also:$$=2*\frac { 1 }{ 2x+B } +0$$Rückersetzung von x durch x₁ sowie der Konstanten B durch x₂ :$$=\frac { 2 }{ 2{ x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }$$

 

Bezüglich der partiellen Ableitung nach x₂ sind x₁ und x₃ als Konstanten zu betrachten.
Setze also für die partielle Ableitung nach x₂:

A = x₁
x = x₂
C = x₃

Dann:

$$\frac { \partial F }{ \partial { x }_{ 2 } } =\frac { d }{ dx } (ln(2A+x)+{ C }^{ 2 }{ x }^{ 2 })=\frac { d }{ dx } (ln(2A+x)+\frac { d }{ dx } { C }^{ 2 }{ x }^{ 2 }$$Erster Summand: Kettenregel ("Innere Ableitung mal äußere Ableitung"), zweiter Summand: Potenzregel, also:$$=1*\frac { 1 }{ 2A+x } +2{ C }^{ 2 }x$$Rückersetzung von x durch x₂ sowie der Konstanten A bzw. C durch x₁ bzw. x₃:$$=\frac { 1 }{ 2{ x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } } +2{ x }_{ 3 }^{ 2 }{ x }_{ 2 }$$

 

Bezüglich der partiellen Ableitung nach x₃ sind x₁ und x₂ als Konstanten zu betrachten.
Setze also für die partielle Ableitung nach x₃:

A = x₁
B = x₂
x = x₃

Dann:

$$\frac { \partial F }{ \partial { x }_{ 3 } } =\frac { d }{ dx } ln(2A+B)+{ x }^{ 2 }{ B }^{ 2 })=\frac { d }{ dx } (ln(2A+B)+\frac { d }{ dx } { x }^{ 2 }{ B }^{ 2 }$$Erster Summand: Kettenregel ("Innere Ableitung mal äußere Ableitung"), zweiter Summand: Potenzregel, also:$$=0*\frac { 1 }{ 2A+B } +2{ B }^{ 2 }x=2{ B }^{ 2 }x$$Rückersetzung von x durch x₃ sowie der Konstanten B durch x₂:$$=2{ x }_{ 2 }^{ 2 }{ x }_{ 3 }$$

 

Also kurz:

$$\frac { \partial F }{ \partial { x }_{ 1 } } =\frac { 2 }{ 2{ x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }$$$$\frac { \partial F }{ \partial { x }_{ 2 } } =\frac { 1 }{ 2{ x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } } +2{ x }_{ 3 }^{ 2 }{ x }_{ 2 }$$$$\frac { \partial F }{ \partial { x }_{ 3 } } =2{ x }_{ 2 }^{ 2 }{ x }_{ 3 }$$