Bestimmen Sie für diese Werte Parametrisierungen der Lösungsmenge und beschreiben sie die Lösungsmenge geometrisch.

Question

Aufgabe: Für welche Werte des Parameters     t € R ist die Lösungsmenge für das folgende lineare Gleichungssystem nicht leer? Bestimmen Sie für diese Werte Parametrisierungen der Lösungsmenge und beschreiben sie die Lösungsmenge geometrisch.

Problem/Ansatz: Okay, also wie soll ich jetzt das geometrisch beschreiben?

Text erkannt:

Autgabe 3
\( \begin{array}{l} \begin{array}{r} x_{1}+2 x_{2}-3 x_{3}=3 \\ -x_{1}+6 x_{2}-5 x_{3}=21 \\ -3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=3 t \end{array} \quad\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 3 \\ -1 & 6 & -5 & 21 \\ -3 & 2 & 1 & 3 t \end{array}\right) \\ \Leftrightarrow \mathbb{I}+ \pm\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 3 \\ 0 & 8 & -8 & 24 \\ 0 & 8 & -8 & 3 t+9 \end{array}\right) \longleftrightarrow \mathbb{I}-\mathbb{I}\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 3 \\ 0 & 8 & -8 & 24 \\ 0 & 0 & 0 & 3 t-15 \end{array}\right) \\ \leftrightarrow\left(\begin{array}{ccc|c} x_{1} & x_{2} & x_{3} & 3 \\ 1 & 2 & -3 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 3 z-15 \end{array}\right) \\ 3 t-15=0 \\ x_{2}-x_{3}=3 \\ x_{1}+2\left(3+x_{3}\right)-3 x_{3}=3 \\ \begin{array}{l} 3 t=15 \\ t=5 \end{array} \\ x_{2}=3+x_{3} \\ x_{1}+6+2 x_{3}-3 x_{3}=3 \\ x_{1}+6-x_{3}=3 \\ x_{1}=-3+x_{3} \\ \end{array} \)

Answer 1

Du hast ja schon raus:  Für t≠5 ist die Lösungsmenge leer, also

"Für welche Werte des Parameters   t € R ist die Lösungsmenge

für das folgende lineare Gleichungssystem nicht leer?"  Für t=5.

In dem Fall gilt nur noch:

\(  x_2-x_3=3   \)  und \( x_1+ 2 x_2-x_3=3  \)

D.h. Du kannst dir für x₂ bzw x₃ iregndwas aussuchen, etwa x₃=s.

Wegen \(  x_2-x_3=3  \) gilt also \(  x_2-s=3  \) bzw x₂ = 3+s.

Und aus \( x_1+ 2 x_2-x_3=3  \) bekommst du \( x_1 =  -3 +s \).

Also sehen alle Lösungen so aus

           ( -3+s ; 3+s ;  s ) = (-3 ; 3 ; 0 ) + s(1 ;1 ;1 )

Das wäre - vektoriell geschrieben - die Gerade durch

(-3 ; 3 ; 0) mit dem Richtungsvektor (1 ;1 ;1 )^T .