Induktion von Produkt mit Sinus und Cosinus

Question

Aufgabe:

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Aufgabe H 10. Vollständige Induktion
Zeigen Sie die folgende Aussage mittels vollständiger Induktion:
\( \prod \limits_{k=0}^{n} \cos \left(2^{k} x\right)=\frac{\sin \left(2^{n} x\right) \cos \left(2^{n} x\right)}{2^{n} \sin (x)} \quad \text { für alle } n \in \mathbb{N}_{0} . \)

Hinweis: Dabei dürfen Sie die folgende Gleichung, die für alle \( x \in \mathbb{R} \) gilt, ohne Beweis benutzen: \( \sin (2 x)=2 \sin (x) \cos (y) \).

Problem/Ansatz:

Hallo.

Mein Ansatz wäre beim Induktionsschluss erstmal n+1 über dem Multiplikationszeichen zu machen. Danach kann man quasi cos(2^n+1 x ) rausschreiben und die Induktionshypothese anwenden wonach der Bruch rechts eingetragen werden kann. Ab hier komme ich nicht wirklich weiter.

Comments

Dabei dürfen Sie die folgende Gleichung, die für alle \( x \in \mathbb{R} \) gilt, ohne Beweis benutzen: \( \sin (2 x)=2 \sin (x) \cos (y) \).

Leider ist da ein Dreckfuhler drin. Richtig wäre:

        \( \sin (2 x)=2 \sin (x) \cos (x) \)

Answer 1

Deine Idee für den Ansatz ist gut. Danach kommt etwas Rechnerei. Insbesondere muss man den Hinweis geeignet benutzen.

Ich mache mal den Induktionsschritt \(n\rightarrow n+1\):

$$\prod_{k=1}^{n+1} \cos (2^k x)=\cos(2^{n+1}x) \prod_{k=1}^{n} \cos (2^k x) $$

$$\stackrel{\text{Induktionsvor.}}{=} \cos(2^{n+1}x) \cdot \frac{\sin(2^n x)\cos(2^n x)}{2^n\sin x} \quad (1)$$

Jetzt müssen wir ein \(\sin(2^{n+1} x)\) herbeizaubern. Dazu nutzen wir den Hinweis. Es gilt

\(\sin(2^{n+1} x) \stackrel{2^{n+1} = 2\cdot 2^n}{=} 2\sin(2^n x)\cos(2^n x) \quad (2)\)

Damit können wir mit (1) weiterrechnen:

\((1) = \cos(2^{n+1}x) \cdot \frac{{\color{blue}{2}}\sin(2^n x)\cos(2^{n} x)}{2^{\color{blue}{n+1}}\sin x}\stackrel{(2)}{=} \frac{\sin(2^{n+1} x)\cos(2^{n+1} x)}{2^{n+1}\sin x}\)