Gaußsche Zahlen und algebraische Zahlen

Question

Aufgabe:

Beweis: Alle ganzen Gaußschen Zahlen sind ganze algebraische Zahlen.

Problem/Ansatz:

Ich kenne die Definition von  beiden Begriffen, weiß aber nicht, wie ich das formulieren kann.

Answer 1

Wenn du also eine Zahl z hast mit z=a+bi und a,b ∈ℤ, dann

musst du zeigen, dass es ein Polynom mit Koeffizienten aus ℚ

( und damit auch eines mit Koeffizienten aus ℤ) gibt, dessen

Nullstelle a+bi ist.

Man weiss ja, dass gilt (a+bi)^2  =  a^2 + 2abi - b^2

==>                (a+bi)^2  +b^2 - a^2 =    2abi

==>     (  (a+bi)^2  +b^2 - a^2 )^2  =    -4a^2 b^2

==>    (  (a+bi)^2  +b^2 - a^2 )^2  +  4a^2 b^2 =0 

Also ist    (  x^2  +b^2 - a^2 )^2  +  4a^2 b^2   so ein Polynom.

Und wegen a,b ∈ℤ sind sogar alle Koeffizienten aus ℤ.

Comments

Danke sehr .. gut erklärt