Aufgabe:
Jemand stellt die folgende Behauptung auf.
“Ich beweise, dass in der Definition einer Äquivalenzrelation die Forderung, dass für alle x ∈ X stets x ∼ x gilt, überflüssig ist. Sei ∼ eine Relation, die die anderen beiden Forderungen erfüllt, x ∈ X beliebig. Dann wähle ich ein y mit x ∼ y. Aus der zweiten Forderung folgt, dass dann auch y ∼ x gilt. Nach der dritten, angewandt mit x = z, folgt aus x ∼ y und y ∼ x automatisch x ∼ x.”
Wo ist der Fehler im Beweis? Finden Sie eine Relation, die die zweite und dritte Forderung in der Definition einer Äquivalenzrelation erfüllt, aber nicht die erste!
