Zeigen Sie, dass ≈ eine Äquivalenzrelation ist.

Question

Aufgabe:

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Aufgabe 4. Sei \( \sim \) eine beliebige Relation auf einer Menge \( X \). Sei \( \sim^{\prime} \) die Relation, für die \( x \sim y \) genau dann gilt, wenn \( x=y \) oder \( x \sim y \) oder \( y \sim x \). Sei \( \approx \) die Relation, für die \( x \approx y \) genau dann gilt, wenn es eine natürliche Zahl \( k \) und Elemente \( x_{1}, x_{2}, \ldots x_{k} \) gibt, so dass
\( x \sim x_{1}, \quad x_{1} \sim x_{2}, \quad x_{2} \sim x_{3}, \ldots, x_{k-1} \sim x_{k}, \quad x_{k} \sim y . \)

Zeigen Sie, dass \( \approx \) eine Äquivalenzrelation ist. \( (\approx \) bezeichnet man als transitive Hülle von \( \sim) \).

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Answer 1

\(  \approx \)  reflexiv ? Prüfe dazu, ob für alle x∈X gilt  \(  x \approx x \).

\(  \approx \)  symmetrisch ? Prüfe dazu, ob für alle x,y∈X gilt :

 \(  x \approx y \)   ==>     \(  y \approx x \).

\(  \approx \)  transitiv ? Prüfe dazu, ob für alle x,y,z∈X gilt

\(  x \approx y \)   und   \(  y \approx z \)   ==>     \(  x \approx z \).