Dreieck mit einbeschriebenen Halbkreisen. Beweise: Schnittpunkt der zwei Halbkreise auf der Hypotenuse

Question

In dem Diagramm bilden die beiden Schenkel des rechtwinkligen Dreiecks ABC die Durchmesser der beiden Halbkreise.

a) Bestimmen Sie die Gesamtfläche der schattierten Bereiche (farbige Regionen).

b) Beweisen Sie (wie in der Zeichnung gezeigt), dass ein Schnittpunkt der zwei Halbkreise auf der Hypotenuse liegt.

Comments

Zeichne die Höhe h_c ein.

Das grüne Gebiet erhältst du aus des Summe aus 

Halbkreis über AC Minus Dreieck AH_cC

und 

Halbkreis über BA Minus Dreieck BCH_c

Gibt vereinfacht

Halbkreis über AC + Halbkreis über BC minus Dreieck ABC

= π15^2/ 2 + π 20^2/2 - 30*40/2

Bei b) ist die Frage, was ihr voraussetzen dürft. Kennst du z.B. den Thaleskreis?

PS. Diese Halbkreise nennt man nicht 'einbeschrieben', da sie über das Dreieck hinausragen.

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Ich habe keine Einschränkung bei der Wahl der mathematischen Mittel!

Answer 1

a)

 

Zeichne die Höhe h_c ein.

Das grüne Gebiet erhältst du aus des Summe aus 

Halbkreis über AC Minus Dreieck AH_cC

und 

Halbkreis über BA Minus Dreieck BCH_c

Gibt vereinfacht

Halbkreis über AC + Halbkreis über BC minus Dreieck ABC

= π15²/ 2 + π 20²/2 - 30*40/2

Bei b) ist die Frage, was ihr voraussetzen dürft. Kennst du z.B. den Thaleskreis?

b) Habe keine Einschränkung bei der Wahl der mathematischen Mittel!

So wird mein 'Beweis' allerdings recht kurz:

30^2 + 40^2 = 50^2. Daher ist das Dreieck ABC rechtwinklig. (Habe ich bei a) schon benutzt.

H_c liegt auf dem Thaleskreis über AC und über BC. Da H_c auf der Hypotenuse c liegt schneiden sich die beiden Thaleskreise auf der Hypotenuse c.

Comments

@Lu

Die Lösungen gefallen mir gut da aus nur wenigen
Einsichten abgeleitet.

zu b.) mir fiel auch noch Beweis ein :
Das Dreieck A-Hc-C muß im Punkt Hc einen
rechten Winkel haben ( Thaleskreis )
Das Dreieck B-Hc-C muß im Punkt Hc einen
rechten Winkel haben.
Beide Winkel ergeben 180 °. Die Strecke AB
ist also eine Gerade.
mfg Georg