Betragsungleichung lösen nach Fallunterscheidung

Question

Aufgabe:

\( \frac{|x-2|}{|x-3|} \) \(\leq\) 2

Problem/Ansatz:

Ich verstehe die Aufgabe eigentlich sehr gut allerdings scheinen meine Berechnungen falsch zu sein, da ich immer auf Lösungen stoße, die keinen Sinn ergeben wenn man sich den Graph der Funktion anguckt.

Ich habe folgende Fallunterscheidungen druchgerechnet: x < 2, 2 \(\leq x \) < 3 und x > 3.

Im ersten Fall ist meine Lösung 4 \(\leq x\) wodurch die Lösungsmenge des ersten Falls leer ist. Schaut man sich aber den Graphen an ist die Ungleichung korrekt für alle x \(\leq\) 2.

Im zweiten Fall komme ich auf die Lösungsmenge [2, \( \frac{8}{3} \) ], was dem Graphen nach korrekt ist. Beim dritten Fall komme ich ebenfalls auf ein richtiges Ergebnis mit der Lösungsmenge [4, \(\infty\)], was ebenfalls korrekt scheint. Nur der erste Fall macht mir Probleme. Was mache ich Falsch?

Answer 1

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge

Was mache ich Falsch?

Da Du den Rechenweg nicht gezeigt hast, kann man nur raten. Nehmen wir den Fall \(x\lt2\), dann sind beide Termen in den Betragsstrichen negativ - also:$$\begin{aligned} \frac{-(x-2)}{-(x-3)}&\le 2 \\\frac{x-2}{x-3}&\le 2 &&|\,\cdot(x-3) \quad x-3\lt 0(!)\\ x-2 &\ge 2(x-3)  \\ x-2&\ge 2x-6 &&|\, -x+6 \\ 4&\ge x\end{aligned}$$wahrscheinlich hast Du bei der Multiplikation des negativen Terms \((x-3)\) nicht daran gedacht, das \(\le\) zu 'drehen' - oder?

Gruß Werner

Comments

Ja dummer Fehler danke. Hab nicht beachtet dass durch x < 2, x - 3 natürlich negativ ist. Vielen Dank

Answer 2

1.Fall:

x<2 u. x<3 -> x<2

(-x+2)/(-x+3)-2 <0

(-x+2+2x-6)/(x-3) <0

(x-4)/-x+3) <0

a) x<4 u. x< 3 -> x<3

b) x>4 u. x>3 -> x >4

L = R\ [3;4]

Answer 3

Wenn man Beträge sieht, muss man nicht immer blindlings mit Fallunterscheidungen starten.

Für \(x\neq 3\) ist die gegebene Ungleichung äquivalent mit

$$(x-2)^2 \leq 4(x-3)^2$$

Jetzt löst du die Quadrate auf und bringst alles auf eine Seite

$$0\leq x^2 - \frac{20}3x+\frac{32}3$$

Nullstellen bestimmen:

$$x= \frac 83,\: x= 4$$

Damit ergibt sich die Lösungsmenge

$$L = (-\infty, \frac 83] \cup [4,\infty)$$

Answer 4

\( \frac{|x-2|}{|x-3|} ≤2\)

\( |\frac{x-2}{x-3} |≤2    |^{2}\)

\( \frac{(x-2)^2}{(x-3)^2} ≤4   \)

\( (x-2)^2 ≤4 \cdot(x-3)^2 \)

\( x^2-4x+4 ≤4 x^2-24x+36 \)

\(0 ≤3 x^2-20x+32 \)

\(3 x^2-20x+32≥0 \)

\( x^2-\frac{20}{3}x≥-\frac{32}{3} \)

\( (x-\frac{20}{6})^2≥\frac{4}{9} \)

1.)

\( (x-\frac{10}{3}≥\frac{2}{3} \)

\( x_1≥4\)

2.)

\( (x-\frac{10}{3}≤-\frac{2}{3} \)

\(x_2≤ \frac{8}{3}\)