Zeigen Sie, dass f ein Polynom vom Grad höchstens m-1 ist.

Question

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Aufgabe 19 (4 Punkte). Es seien \( I \subseteq \mathbb{R} \) ein offenes Intervall und \( f \in \mathcal{C}^{m}(I) \) mit \( f^{(m)}(x) \equiv 0 \), d. h. \( f(x)=0 \) für alle \( x \in I \). Zeigen Sie, dass \( f \) ein Polynom vom Grad höchstens \( m-1 \) ist.

Answer 1

In der Aufgabe sollte ziemlich sicher stehen: "d.h. \(f^{(m)}(x)=0\) für alle \(x\in I\).

\(f^{(m)}\) ist also die Nullfunktion. Dann integriere mal um \(f^{(m-1)}\) zu erhalten. Welche Form hat das und welchen Grad? Und dann weiter: \(f^{(m-2)}\) genauso erhalten und untersuchen. Wenn Du das \(m\)-mal gemacht hast, bist Du bei \(f^{(m-m)}=f^{(0)}=f\) und weißt Bescheid.