Zerlegen Sie das Polynom [..] jeweils in Q[x] und/oder Z[x] in irreduzible Faktoren

Question

Zerlegen Sie das Polynom

\( x^5+5x^3+15 \)

jeweils in Q[x] und/oder Z[x] in irreduzible Faktoren.

Ich weiß das es eine Nullstelle besitzt (dank GeoGebra) aber da es keine Nullstellenformel für x^5 gibt, habe ich keine Ahnung wie ich diese zeige soll.

Answer 1

Das Polynom ist irreduzibel in Q[x] bzw. Z[x].

Wende das Eisensteinkriterium mit p=5 an.

Answer 2

Hallo

dass x^5 und x^3 monoton steigende Fkt.  sind ist klar, +15 dann auch, damit ist klar, dass es nur eine reelle Nullstelle gibt. dass die zwischen -1 und  -2 liegen muss auch damit ist das in Z[x] unzerlegbar. die Ist. Zerlegung in (x-x0)*q(x)in Q zu finden geht wohl nur angenähert.

Gruß lul

Answer 3

Eisenstein für Irreduzibilität über Z und Lemma von
Gauss für Irreduzibilität über Q.