Mit Hilfe des Divisionsalgorithmus Polynom in Faktoren zerlegen: x^3-4x^2+x+6

Question

Der Term lautet x³ - 4x² + x + 6 

mit Hilfe des divisionsalgorithmus soll ich eine möglichst weite faktorzerlegung in polynome mit ganzen koffizienten finden

die lösung habe ich nach langer zeit und eher durch zufall herausgefunden: (x+1)(x-2)(x-3)

ich denke, es gibt jedoch aber auch noch einfachere lösungstechniken, könnte mir jemand diese wohlen erklären?

vielen dank

Answer 1

x^3 - 4·x^2 + x + 6

Mach einfach mal eine Wertetabelle im Bereich von -6 bis 6

[-6, -360;
-5, -224;
-4, -126;
-3, -60;
-2, -20;
-1, 0;
0, 6;
1, 4;
2, 0;
3, 0;
4, 10;
5, 36;
6, 84]

Hier kann man wunderbar die Nullstelle bei x = -1; x = 2 und x = 3 ablesen und kann entweder eine Polynomdivision machen oder die Faktorzerlegung gleich so aufschreiben.

Comments

Eine so ausführliche Wertetabelle ist völlig überflüssig!

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Richtig. Es langt sich auf Teiler von der 6 zu konzentrieren. Aber wenn man die Wertetabelle mit einem Taschenrechner macht, dann Sind Wertetabellen nunmal in einem Intervall [a, b] mit vorzugebener Schrittweite. Also ist es einfacher eine komplette Wertetabelle zu machen auch wenn man weiß, dass da Werte wie 5 überflüssig wären.

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Na gut! Wenn ich aber einen Taschenrechner benutze, der Wertetabellen erzeugt, würde ich mich als erstes dafür interessieren, ob der nicht auch die Nullstellen von Polynomen direkt ausrechnen kann... :-)

Answer 2

Hi,

Du kannst die Teiler des Absolutgliedes untersuchen. Also 1,2,3 und 6. Sowie ihre negativen Partner.

Wenn man mit 1 und -1 einfängt hat man mit -1 gleich eine Nullstelle und kann dann eine Polynomdivision durchführen. Über die pq-Formel findet man dann die restlichen beiden Lösungen ;).

Grüße

Comments

Danke für die Erklärung aber mir ist nicht ganz bewusst, was eine Nullstelle ist

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Nullstellen sind die Werte von x für denen der Funktionsterm bei eingesetztem x den Wert 0 annimmt. Sie folgen der Bedingung

f(x) = 0

Das siehst du an meiner Wertetabelle oder besser an deiner eigenen, wenn du eine machst, sehr schön.