Char. Polynom, Primfaktorzerlegung, Minimalpolynom, irreduzible Faktoren

Question

Aufgabe:

Gegeben: f. ℝ⁴ → ℝ⁴  mit der Matrix A =

1/2	0	√3/2	0
0	0	0	-1
-√3/2	0	1/2	0
0	1	0	0

a)  Berechne das charakteristische Polynom χ_f

b) Bestimme die komplexen Nullstellen von χ_f  und gebe eine Primfaktorzerlegung über ℝ[T] an.

c) Berechne das Minimalpolynom Ψ_f von f. (Benutze dazu b) und eine Aufgabe, die die Info:

1)Es ist λ 2 K genau dann Eigenwert von f, wenn  f (λ) = 0 ist. (Hinweis: Für die nicht
offensichtliche Implikation spalte man einen Linearfaktor von  f ab, setze f in den resultierenden
Quotienten ein und finde einen Eigenvektor in dessen Bild.)
2) Das charakteristische Polynom Χ_f und das Minimalpolynom  Ψ_f haben dieselben Nullstellen
in K. Ist K algebraisch abgeschlossen, so ist  Ψf ein Teiler von Χ_f . (Letzteres gilt über jedem
Körper.))

d) Bestimme die zu den (über  ℝ[T]) irreduziblen Faktoren von Ψf gehörenden f-invarianten Untervektorräumen von  ℝ4, wähle Basen und gebe die zugehörige Matrixdarstellung von f an.

Problem/Ansatz:

Also bei a) habe ich als Χf = T⁴ - T³ + 2T² -T +1 raus.

Zu b) Hier habe ich als komplexe Nullstellen Χf =  T4 - T3 + 2T2 -T +1 = (T-i)(T+i)(T+(√3*i-1)/2)(T-√3*i+1)/2)

bei der Primfaktorzerlegung bin ich mir nich ganz sicher, aber ich denke:

Χf =  T4 - T3 + 2T2 -T +1 = (T²+1)(T²-T+1) , weil man es ja auf ℝ nicht weiter zerlegen kann.

Zu c) habe ich jetzt versucht die Matrix in (T²+1)(T²-T+1)  einzusetzen und um zu gucken, ob da die Nullmatrix bei raus kommt. Tut es aber nicht. Dann habe ich es auch nochmal separat für beide Faktoren ausprobiert, funktioniert auch nicht.Ich weiß jetzt nicht, wie ich da voran kommen soll. bzw. wie man das Minimalpolynom berechnet.

Zu d) Wären die irreduziblen Faktoren nicht (T²+1)(T²-T+1) ? Hier weiß ich leider auch nicht weiter..

Ich würde mich über jede Art von Hilfe freuen,

Comments

Okay ich habe jetzt einen Fehler entdeckt. und zwar bei der c) wenn ich (T²+1)(T²-T+1) auf A anwende bekomme ich 0 raus. Also wäre dann mein Minimalpolynom ψ_f = (T²+1)(T²-T+1) ?

Answer 1

Hallo AK14,

Das charakteristische Polynom hast du richtig berechnet. Die Nullstellen auch, dir ist da allerdings eine Klammer verloren gegangen:

(T-i)(T+i)(T+(√3*i-1)/2)(T-(√3*i+1)/2)

Deine Primfaktozerlegung sieht auch gut aus.

Das Minimalpolynom ist ein Teiler des charakteristischen Polynoms, es kommen also nur \( X^2 +1\), \(X^2-X+1\) und \( (X^2+1)(X^2-X+1)\) in Frage. Wenn du schon nachgerechnet hast, dass \( A^2 + I \neq 0 \) und \( A^2 - A + I \neq 0 \) ist, muss das Minimalpolynom also gleich dem charakteristischen Polynom sein.

Ist K algebraisch abgeschlossen, so ist  Ψf ein Teiler von Χf . (Letzteres gilt über jedem
Körper.)

Das klingt seltsam. Erst wird algebraisch abgeschlossen verlangt, anschließend wird gesagt es gilt über jedem Körper... Mach dir da die genaue Aussage nochmal bewusst. Klar ist: das MiPo teilt immer das CharPo.

Zu d) Wären die irreduziblen Faktoren nicht (T^2+1), (T^2-T+1) ?

Ja genau. ℝ[x] ist faktoriell, also stimmen die Begriffe Primelement und irreduzibles Element überein.

Die f-invarianten Unterräume sind jetzt gerade die Kerne der Matrizen die man enthält, wenn man \( A \) in die irreduziblen Faktoren einsetzt:

$$ V_1 := \ker A^2 + I = \operatorname{Lin}( (0,1,0,0), (0,0,0,1) ) \\ V_2 := \ker A^2 - A + I = \operatorname{Lin} ((1,0,0,0),(0,0,1,0)) $$

Das ergibt die Basis \( ( (0,1,0,0), (0,0,0,1), (1,0,0,0),(0,0,1,0)) \), die Darstellungsmatrix bezüglich dieser ist

$$ \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0 \\ && \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\\ & & -  \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} $$

der obere Block korrespondiert zu \( X^2 + 1 \) der untere zu \( X^2-X+I \).

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Viiiiiiieeeelen Dank