Linearfaktorzerlegung und Nullstellen finden

Question

Hallo Freunde! Ich bräuchte mal Hilfe bei meinen Mathe Aufgaben. Ich soll eine Linearfaktorzerlegung und die Nullstellen zu diesen 4 Funktionen finden. Ich verstehe das Thema leider überhaupt nicht. Ich Bitte um einen ausführlichen Rechenweg!

f(x)=x^3-2x^2-20x+50

f(x)=6x^4+13x^3-18x^2-7x+6

y=6x^3-25x^2+3x+4

f(x)=4x^3-52x^2-x+13

Comments

Erster Schritt wäre raten einer Nullstelle und dann Polynomdivision bzw. Horner Schema.

Answer 1

y = 6x³ - 25x² + 3x + 4 

die Lösung x₁ = 4 musst du durch Probieren (Teiler des Summanden 4 !) finden.

Polynomdivision (Hornerschema):

(6x³-25x²+3x+4) : (x-4) = 6x² - x + 1

Rechner für Polynomdivision:

https://www.matheretter.de/rechner/polynomdivision

6x² - x + 1 = 0   mit abc-Formel für quadratische Gleichungen lösen

→  x₂ = - 1/3   ,  x₃  = 1/2

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f(x) = x³ - 2x² -20x +50 hat keine rationalen Nullstellen

x = 3.800984100 ∨ x = -4.637519478 ∨ x = 2.836535378   findest du mit einem numerischen Näherungsverfahren , z.B. Newtonverfahren:

Ausgehend von einem (möglichst guten) Startwert, den man z.B zwischen zwei x-Werten findet, deren Funktionswerte verschiedenes Vorzeichen haben, findet man immer bessere Werte mit der Formel

x_neu =  x_alt - f(x_alt) / f ' (x_alt)

Infos dazu findest du hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren

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f(x )= 6x⁴ + 13x³ -18x² -7x + 6

x₁ =1 durch Probieren, Polynomdivision, bei Ergebnis x₂ = - 3 durch Probieren, quadatratische Gleichung ergibt dann x₃ = 1/2 und x₄ = -2/3

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f(x) = 4x³ -52x² -x + 13  

hat die Lösungen  x = - 1/2 ∨ x = 1/2 ∨ x = 13

Da eine ganzzahlige Lösung ein Teiler von 13 sein muss, kannst man diese durch Pobieren finden. Rest wie oben.

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Die  Polynomdivision durch Linearfaktoren kann man - wenn man "von Hand"  rechnen muss - schneller mit dem Hornerschema durchführen, das hier erklärt wird:

www.youtube.com/watch?v=tMehEcEsRsY

Gruß Wolfgang

Answer 2

a)

x^3 - 2·x^2 - 20·x + 50 = 0 --> Hier gibt es keinerationalen Nullstellen 

b)

6·x^4 + 13·x^3 - 18·x^2 - 7·x + 6 = 0 --> ganzzahlige Nullstellen bei -3 und +1 

(6·x^4 + 13·x^3 - 18·x^2 - 7·x + 6) / (x + 3) = 6·x^3 - 5·x^2 - 3·x + 2 

(6·x^3 - 5·x^2 - 3·x + 2) / (x - 1) = 6·x^2 + x - 2

Jetzt noch die Mitternachtsformel nehmen um die restlichen zwei Nullstellen bei - 2/3 und 1/2 zu bekommen.

Faktorzerlegung ist also

6·x^4 + 13·x^3 - 18·x^2 - 7·x + 6 = 6·(x - 1)·(x + 3)·(x - 1/2)·(x + 2/3)

c)

6·x^3 - 25·x^2 + 3·x + 4 = 0 --> ganzzahlige Nullstelle bei 4 

(6·x^3 - 25·x^2 + 3·x + 4) / (x - 4) = 6·x^2 - x - 1

6·x^2 - x - 1 = 0 --> Mit abc-Formel findet man x = - 1/3 ∨ x = 1/2 

Faktorzerlegung ist also

6·x^3 - 25·x^2 + 3·x + 4 = 6·(x - 4)·(x - 1/2)·(x + 1/3)

d)

Hier findest du folgende Faktorzerlegung

4·x^3 - 52·x^2 - x + 13 = 4·(x - 13)·(x + 1/2)·(x - 1/2)

Answer 3

Lösung möglich z.b durch Hornerschema: