Irreduzible quadratische Faktoren?

Question

was ist mit "Zerlegen Sie die folgenden Polynome vollständig in Linearfaktoren und irreduzible quadratische Faktoren" gemeint? Wie muss man vorgehen?

z.B. bei

f(x)=x^4-3x^3-3x^2+11x-6

Irgendwie denke ich dabei immer an Polynomdivision?

MFG

Comments

Irgendwie denke ich dabei immer an Polynomdivision?

Das ist schon gut. Wenn du aber keine reelle Nullstelle findest, weil es z.B. keine ganzzahlige solche gibt: 

Denke rückwärts.

Möglich ist, dass nur Folgendes möglich ist.

f(x)=x⁴-3x³-3x²+11x-6 = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) 

Dabei muss gelten, dass z.B. b*d = -6.

Überlege dir weitere solche Bedingungen.

Du kannst möglicherweise auch geschickt (systematisch) raten. 

Möglich ist, dass 

y= (x^2 + ax + b) und y= (x^2 + cx + d) keine reelle Lösung haben. Es kann aber auch sein, dass du bei einem der Faktoren mit der pq-Formel noch weiter faktorisieren kannst. 

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(x^4-3x^3-3x^2+11x-6)/(x-1) = x^3-2x^2-5x+6

(x^3-2x^2-5x+6)/(x-3) = x^2+x-2

(x^2+x-2)/(x+2) = x-1

0=x-1

x= 1

habe ich anhand dieser Ergebnisse wieder auf x^4-3x^3-3x^2+11x-6 kommen soll?

spricht ((((x-1)(x+2))(x-3))(x-1))

Answer 1

(x⁴-3x³-3x²+11x-6)/(x-1) = x³-2x²-5x+6

(x³-2x²-5x+6)/(x-3) = x²+x-2 

(x²+x-2)/(x+2) = x-1

0=x-1 

x= 1

Nimm einfach den Divisor als Faktor auf die rechte Seite der Gleichung:

habe ich anhand dieser Ergebnisse wieder auf x⁴-3x³-3x²+11x-6 kommen soll?

(x⁴-3x³-3x²+11x-6)= (x³-2x²-5x+6)(x-1)

= (x³-2x²-5x+6)(x-1) = (x²+x-2 )(x-3)(x-1) 

= (x²+x-2)(x-3)(x-1) = (x-1)(x+2)(x-3)(x-1) 

=  (x-1)^2(x+2)(x-3) 

Multipliziere zur Kontrolle   (x-1)^2(x+2)(x-3)  aus. 

Comments

ICh muss ja das Polynom vollständig in Liearfaktoren und irreduzible quadratische Faktoren zerlegen,

wäre damit alles erledigt?

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Ja. Es gibt hier eine vollständige Zerlegung in Linearfaktoren.

Irreduzible quadratische Faktoren gibt es nur bei Beispielen, wo auch komplexe Nullstellen vorkommen.