Ich mache mal b3).
Zunächst ist diese Aufgabe nicht sauber gestellt, da nicht gesagt wird, welche Zahlen zugelassen sind.
Am wahrscheinlichsten ist, dass nichtnegative ganze Zahlen gemeint sind.
Unter dieser Annahme ergibt sich folgendes.
a)
Gesucht ist, auf wie viele Weisen man ganze Zahlen \(a,b,c,d \geq 0\) finden kann, sodass
\(a+b+c+d = 75\) gilt.
Für so einen Fall gibt es die berühmte "Stars-and-Bars-Methode":
Stell dir 75 (ununterscheidbare) Sterne und 3 (ununterscheidbare) kleine Stäbchen (für die Plus-Zeichen) vor. Jede Anordnung dieser 75+3 Sterne und Stäbchen entspricht einer gesuchten Zerlegung \(a+b+c+d = 75\) (das mal in Ruhe selber überlegen).
Wenn man nun noch die Sterne jeweils untereinander permutiert und die Stäbchen unter sich, erhält man dieselbe Zerlegung. D.h., man erhält insgesamt
\(\frac{(75+3)!}{75!\cdot 3!} = \boxed{\binom{78}{3}}\)
verschiedene Zerlegungen \(a+b+c+d = 75\) mit ganzen \(a,b,c,d \geq 0\).
b)
Das kannst du auf a) zurückführen.
Gesucht ist, auf wie viele Weisen man ganze Zahlen \(a,b,c,d \geq \color{blue}{1}\) finden kann, sodass
\(a+b+c+d = 75\) gilt.
D.h., gesucht sind ganze Zahlen \(a',b',c',d' \geq \color{blue}{0}\), sodass
\(a'+{\color{blue}{1}}+b'+{\color{blue}{1}}+c'+{\color{blue}{1}}+d'+{\color{blue}{1}} = 75\)
\(\Leftrightarrow\)
\(a'+b'+c'+d'= 71\)
Nun wendest du a) an und erhältst
\(\frac{(71+3)!}{71!\cdot 3!} = \boxed{\binom{74}{3}}\)
