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Aufgabe:

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Text erkannt:

(c) Für welche Werte von x konvergiert die Reihe?
\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^{n}}{a^{n} n} \)


Ich brauche Hilfeeee!Danke im Voraus!

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Für den Fall, dass du etwas lernen willst:

Es gibt Formeln, um den Konvergenzradius einer Potenzreihe zu bestimmen.

Probier das erst einmal und sage dann, wo du dabei ein Problem hast.


Für alle anderen Fälle:

Warte einfach, bis jemand Lösungsmaschine spielt und glaubt, dass das toll ist.

2 Antworten

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Beste Antwort

Aloha :)

$$S(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{na^n}\cdot x^n=\sum\limits_{n=1}^\infty b_n\cdot x^n\;\;\text{mit }b_n\coloneqq\frac{(-1)^{n+1}}{na^n}$$

Der Konvergenzradius \(r\) der Reihe beträgt:$$r=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{b_n}{b_{n+1}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{(-1)^{n+1}}{na^n}}{\frac{(-1)^{n+2}}{(n+1)a^{n+1}}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{(n+1)a^{n+1}}{na^n}\right|=|a|\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)=|a|$$

Die Reihe konvergiert also sicher für \(|x|<|a|\) bzw. für \(-|a|<x<|a|\).

Die beiden Grenzfälle \(x=\pm|a|\) bzw. \(x=\pm a\) musst du noch extra untersuchen:$$S(a)=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}\cdot a^n}{n\cdot a^n}=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n}=\ln(2)$$Falls du den Grenzwert dieser Summe nicht auswendig kennst, folgt die Konvergenz der Reihe \(S(a)\) aus dem Leibniz-Kriterium, da \(\left(\frac1n\right)\) eine monoton fallende Nullfoge ist.

$$S(-a)=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}\cdot(-a)^n}{n\cdot a^n}=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{2n+1}\cdot a^n}{n\cdot a^n}=-\sum\limits\frac1n\to-\infty$$Dass die harmonische Reihe divergiert, ist mathematisches Allgemeinwissen.

Die Reihe konvergiert also für \(\,\pink{|x|<|a|}\,\) oder für \(\,\pink{x=a}\,\).

Avatar von 152 k 🚀
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Der Betrag des Terms hinter der Summe muss kleiner 1 sein-

Man kann ihn so schreiben:

(x/a)^n * (-1)^(n+1)/n

Avatar von 39 k

muss kleiner 1 sein

Das muss er durchaus nicht.

Ich dachte an den Grenzwert der Summe, aber das ist nicht gemeint.

Danke für den Hinweis.

Ich lass es mal stehen, damit Ihr Kommentar Sinn macht.

Wie lautet die korrekte Antwort?

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