Aloha :)
$$S(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{na^n}\cdot x^n=\sum\limits_{n=1}^\infty b_n\cdot x^n\;\;\text{mit }b_n\coloneqq\frac{(-1)^{n+1}}{na^n}$$
Der Konvergenzradius \(r\) der Reihe beträgt:$$r=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{b_n}{b_{n+1}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{(-1)^{n+1}}{na^n}}{\frac{(-1)^{n+2}}{(n+1)a^{n+1}}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{(n+1)a^{n+1}}{na^n}\right|=|a|\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)=|a|$$
Die Reihe konvergiert also sicher für \(|x|<|a|\) bzw. für \(-|a|<x<|a|\).
Die beiden Grenzfälle \(x=\pm|a|\) bzw. \(x=\pm a\) musst du noch extra untersuchen:$$S(a)=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}\cdot a^n}{n\cdot a^n}=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n}=\ln(2)$$Falls du den Grenzwert dieser Summe nicht auswendig kennst, folgt die Konvergenz der Reihe \(S(a)\) aus dem Leibniz-Kriterium, da \(\left(\frac1n\right)\) eine monoton fallende Nullfoge ist.
$$S(-a)=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}\cdot(-a)^n}{n\cdot a^n}=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{2n+1}\cdot a^n}{n\cdot a^n}=-\sum\limits\frac1n\to-\infty$$Dass die harmonische Reihe divergiert, ist mathematisches Allgemeinwissen.
Die Reihe konvergiert also für \(\,\pink{|x|<|a|}\,\) oder für \(\,\pink{x=a}\,\).
