Zeigen Sie, dass die topologischen Aussagen gelten.

Question

Text erkannt:

Sei \( (X, d) \) ein metrischer Raum und \( M \subset X \). Zeigen Sie, dass
i) \( M^{\circ}=X \backslash \overline{(X \backslash M)} \)
ii) \( \bar{M}=X \backslash(X \backslash M)^{\circ} \)

Text erkannt:

Sei \( (X, d) \) ein metrischer Raum und \( M \subset X \). Zeigen Sie, dass
i) \( M^{\circ}=X \backslash \overline{(X \backslash M)} \)
ii) \( \bar{M}=X \backslash(X \backslash M)^{\circ} \)

Aufgabe:

Zeige folgende aussagen. Dabei ist M^• das Innere von M und M^— der Abschluss von M.

Problem/Ansatz:

Wie kann man die Aussagen beweisen?

Answer 1

Ich bezeichne mit \(B(x,r)\) die offene Kugel um einen PUnkt \(x \in X\) mit Radius r>0. Dann gilt:

$$x \in \overline{X \setminus M} \iff \forall r>0: B(x,r) \cap X \setminus M \neq \emptyset$$

Daraus durch Verneinung
$$x \in X \setminus (\overline{X \setminus M}) \iff x \notin \overline{X \setminus M} \iff \exists r>0: B(x,r) \cap X \setminus M= \emptyset \\ \iff \exists r>0: B(x,r) \subset M \iff x \in M°$$

Die zweite Aufgabe geht analog