Begründe kurz deine Wahl: Wahrscheinlichkeiten

Question

Aufgabe:

entscheide, ob die Aussage wahr oder falsch ist. Begründe kurz deine Wahl:
1. Jede Vierfeldertafel lässt sich auch als Baumdiagramm veranschaulichen.
2.. Die Ereignisse A und B sind voneinander unabhängig, wenn Pb(A) = Pa(B) ist.
3. Im zweistufigen Baumdiagramm findet man stets bedingte Wahrscheinlichkeit
4.. Mit Pb(A) wird das gleiche ausgesagt wie mit Pa(B).
5. Man kann Pb(A) aus Pa(B), P(A) und P(B) berechnen.

Problem/Ansatz:

Sind meine Begründungen richtig?

1. Richtig, man kann jedes Baumdiagramm als Vierfeldertafel darstellen, jedoch sind bedingte Wahrscheinlichkeiten nicht enthalten.

2. Richter, denn die bedingte Wahrscheinlichkeit entspricht der totalen
Wahrscheinlichkeit des
Erergnisses B. Also ist Ereignis A unter der Bedingung von B unabhängig von der Wahrscheinlichkeit von Ereignis B.

3. Richtig, da man bei zweistufigen Baumdiagrammen immer
totele Wahrscheinlichkeiten hat, die multipliziert mit den bedingten Wahracheinlichkeit
eine Schnittwahrscheinlichkeit ergeben

4. Falsch, Pb(A) beschreibt die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis A unter unter der Bedingung dass Ergebnis B schon eingetreten ist. Pa(B) hingegen beschreibt die Wahrscheinlichkeit für Ereignis B unter der Bedingung dass Ereignis A schon eingetreten ist.

5. Falsch, man bräuchte P(B) und P(BnA) um Pb(A) zu berechnen

Sind meine Begründungen richtig?

Answer 1

zu 2)

Aus Pb(A) = Pa(B) folgt \( \frac{P(A\cap B)}{P(B)} \)=\( \frac{P(A\cap B)}{P(A)} \) und somit P(A)=P(B).

Kann man da von Unabhängigkeit von A und B sprechen?

Zu 5)

Mit der Kenntnis von P(A) und \(P_A(B)\) kann man \(P(A\cap B) \)berechnen.

Mit der Kenntnis von P(B) und dem mittlerweile auch bekannten \(P(A\cap B) \) kann man WAS berechnen?

Comments

Vielen Dank, kann ich zu 2) auch argumentieren, dass P(B) *PB(A)=P(BnA) ist und demnach eine Abhängigkeit besteht?

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Vielen Dank, kann ich zu 2) auch argumentieren, dass P(B) *P_B(A)=P(BnA) ist und demnach eine Abhängigkeit besteht?

Nein, so kannst du nicht argumentieren.

Es gilt IMMER \( P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\), sowohl bei Ab- als auch bei Unabhängigkeit zwischen A und B.

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Danke, kann ich dann als Begründung sagen, dass: Die Aussage ist falsch, es gilt Pb(A)=P(BnA)/P(B). Beispielsweise könnten Pb(A) und P(B) den Wert 1 haben, dann wäre automatisch P(BnA) ebenfalls 1 und es gilt 1=1. Somit beeinflussen sich die Werte für Pb(A) und P(B).

So müsste es doch stimmen oder?

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Danke, kann ich dann als Begründung sagen, dass: Die Aussage ist falsch, es gilt Pb(A)=P(BnA)/P(B). Beispielsweise könnten Pb(A) und P(B) den Wert 1 haben, dann wäre automatisch P(BnA) ebenfalls 1 und es gilt 1=1. Somit beeinflussen sich die Werte für Pb(A) und P(B).

So müsste es doch stimmen oder?

Zu 5) habe ich auch noch eine Frage, P(AnB) berechne ich doch aus P(B) und Pb(A) und nicht aus  P(B)*Pa(b) oder?

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Ja. Die falsche Version stand vorhin bei mir nur für wenige Minuten, weil ich mir die andere bedingte Wahrscheinlichkeit mit copy&paste aus einer anderen Textzeile geholt hatte und noch nicht die Buchstabenvertauschung vorgenommen hatte.

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Könntest du mir das zu 5) nochmal erklären? Irgendwie verstehe ich es noch nicht so ganz.

Vielen Dank!

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Ich merke gerade, dass ich in meiner Antwort zu 5) noch ein paar A-B-Vertauscher drin hatte, was jetzt korrigiert ist.

Mit der Kenntnis von P(A) und \(P_A(B)\) kann man \(P(A\cap B) \)berechnen. Mit der Kenntnis von P(B) und dem mittlerweile auch bekannten \(P(A\cap B) \) kann man \(P_B(A)\) berechnen.

Also ist es DOCH möglich, \(P_B(A)\) aus P(A) und \(P(B)\) und \(P_A(B)\) zu berechnen.

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Danke, aber

Pa(B)*P(A)=P(AnB) ,  P(B)*Pb(A)=P(AnB) -> P(AnB) ist doch nur gleich wenn die totale Wahrscheinlichkeit und vedingte Wahrscheinlichkeit Stochastisch unabhängig sind oder nicht?

Müsste ich dabei in die Antwort nicht hinzufügen dass diese Rechnung nur gilt wenn eine stochastische Unabhängig besteht?

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Laut Definition der bedingten W. gilt  \( P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\) und

 \( P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\).

Beide Formeln lassen sich nach \(P(A\cap B) \) umstellen.

Es gilt sowohl

\(P(A)\cdot P_A(B)=P(A\cap B) \)

als auch

\(P(B)\cdot P_B(A)=P(A\cap B) \).

Gleichsetzen beider Terme liefert IMMER

\(P(A)\cdot P_A(B) =P(B)\cdot P_B(A) \).

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Vielen Dank! Ich habe es verstanden!