Bedingte Wahrscheinlichkeit bei einer Wahl

Question

Aufgabe:

Ein Parlament setzt sich aus zwei Parteien zusammen. Mit einem Anteil von p ∈ (0, 1) ist die konservative Partei vertreten, mit einem Anteil von (1 − p) die liberale. Mitglieder der konservativen Partei stimmen bei jedem Abstimmungsdurchgang gleich ab, während jedes Mitglied der liberalen Partei mit Wahrscheinlichkeit q ∈ (0, 1) seine Meinung von einem Durchgang auf den nächsten ändert.
Man beobachtet nun einen Abgeordneten und weiß, dass er bereits zweimal gleich
abgestimmt hat. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er beim nächsten Mal
wieder gleich stimmt?

Problem/Ansatz:

Ich bin mir nicht sicher ob man hier mit der bedingten Wahrscheinlichkeit arbeiten muss, oder einfach die Wahrscheinlichkeiten addieren kann:

Also WK, dass konservativer gleich abstimmt: p*1*1*1, WK, dass liberaler gleich abstimmt: (1-p)*(1-q)^3

WK, dass liberaler oder konservativer 3x gleich abstimmt: p + (1-p)*(1-q)^3

Ich wüsste nicht wie man das mit einer bedingten Wahrscheinlichkeit ausrechnen würde.

Vielen Dank jetzt schon

Answer 1

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Abgeordneter seine Meinung beibehält (A) unter der Bedingung, dass er bereits zweimal seine Meinung beibehalten hat (B). Edit: hier muss es heißen, zweimal gleich abgestimmt hat, und somit einmal seine Meinung einmal beibehalten hat.

Nun gilt \(P(B)=1\cdot p + (1-q)\cdot (1-p)\).

WK, dass liberaler oder konservativer 3x gleich abstimmt: p + (1-p)*(1-q)^3

Das ist \(P(A\cap B)\), also die Wahrscheinlichkeit, dass jemand 3 mal gleich abgestimmt hat. Das musst du jetzt nur noch zusammensetzen. Edit: Auch hier geht nicht um die Wahrscheinlichkeit, 3 mal gleich abgestimmt zu haben, sondern darum, die Meinung zweimal beibehalten zu haben.

Comments

okay, das heißt P(A|B) wäre dann: \( \frac{p+(1-p)(1-q)^3}{p+(1-p)(1-q)^2} \)

habe ich das richtig verstanden?

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Joa, das sollte meiner Meinung nach passen.

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Die Potenzen von (1-q) im Zähler und im Nenner sind jeweils um 1 zu hoch.

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wieso genau um eins zu hoch? es ist doch gefragt wie hoch die wahrscheinlichkeit 3x hintereinander gleich zu wählen und dazu braucht man doch (1-q)^3?

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Es kommt wahrscheinlich auf die Interpretation an.

Wenn bei einem doppelten Münzwurf das Ereignis (K , K) erscheint, dann sage ich "Es ist zweimal hintereinander dasselbe Ergebnis aufgetreten."
Du würdest erst bei einer Sequenz (K , K , K) sagen, dass zweimal nacheinander dasselbe - nämlich das vom ersten Mal - eingetreten ist, also dass zweimal nacheinander keine Änderung stattgefunden hat.

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Guter Einwand, danke.