Grenzwert/Limes einer Funktion

Question

Grenzwert/Limes von (als Bruch) f(x) = 3x-4 / x - 2

lim f(x) = 3 (?)

x -> 2

x < 2

Ich habe dort 3 raus, und auch in einer Graphendarstellungsapp nähert sich der Graph 3 an, schneidet ihn aber nicht. In der Lösung, die ich hier habe, steht aber lim f(x) = - unendlich

Das kann doch aber nicht stimmen, oder?

Comments

Was dir keiner der eifrigen Antwortgeber explizit gesagt hat: Gefragt war der Grenzwert bei Annäherung an x=2, kommend von Werten kleiner als 2.

Du hast stattdessen den Grenzwert für x gegen unendlich berechnet,

---

Was dir keiner der eifrigen Antwortgeber explizit gesagt hat: Gefragt war der Grenzwert bei Annäherung an \(x=2\), kommend von Werten kleiner als \( 2 \).

Aus meinen mehrzeiligen Rechnungen geht doch hervor, dass der Grenzwert →\( \red{-}∞\) geht.

---

Du hättest ihm ja durchaus sagen können, worin sein Irrtum bestand.

---

Leider war aus dem Aufgabenaufschrieb sehr wenig herauslesbar.

---

Worin der Irrtum besteht, ist Spekulation. Der Frager hat ja explizit x->2 dabei geschrieben.

Answer 1

Doch, die Lösung aus dem Buch o.ä. stimmt. Da sieht man mal wieder, wie graphische Darstellungen täuschen können.

Du kannst umschreiben \(\frac{3x-4}{x-2} =\frac{3x-6+2}{x-2}=3+\frac2{x-2}\) und siehst damit (hoffentlich), dass der Grenzwert \(-\infty\) ist.

Answer 2

\( \lim\limits_{x\to2+}\frac{3x-4}{x-2} \)

\(x=2,1\)

\( \lim\limits_{x\to2,1}\frac{3*2,1-4}{2,1-2} =\frac{2,3}{0,1}=23\)

\(x=2,01\)

\( \lim\limits_{x\to2,01}\frac{3*2,01-4}{2,01-2} =\frac{2,06}{0,01}=206\)

Daraus folgt:

\( \lim\limits_{x\to2+}\frac{3x-4}{x-2}→\red{+}∞ \)

\( \lim\limits_{x\to2-}\frac{3x-4}{x-2} \)

\(x=1,9\)

\( \lim\limits_{x\to1,9}\frac{3*1,9-4}{1,9-2} =-17\)

\(x=1,99\)

\( \lim\limits_{x\to1,99}\frac{3*1,99-4}{1,99-2} =-197\)

Daraus folgt:
\( \lim\limits_{x\to2-}\frac{3x-4}{x-2}→\red{-}∞ \)

Comments

Solche Beispiele sind hilfreich für Neulinge. Damit gelangt man zu Vermutungen. "Daraus folgen" tun nur Vermutungen, keine Beweise. Das müsste dann noch nachgewiesen werden (je nach Aufgabenstellung, aber normalerweise eben).

Answer 3

h-Methode:

(3*(2+-h)-4)/(2+-h-2) = (2+-3h)/h = 2/+-h + 3 = +-oo für h -> 0