Seien r, s ungerade Zahlen. Beweisen Sie die folgenden Kongruenzen

Question

Aufgabe:

Seien r, s ungerade Zahlen. Beweisen Sie die folgenden Kongruenzen:

Text erkannt:

(1) \( \frac{r s-1}{2} \equiv \frac{r-1}{2}+\frac{s-1}{2}(\bmod 2) \);
(2) \( (r s)^{2} \equiv r^{2}+s^{2}-1(\bmod 64) \).

Comments

(2)  Mit \(r=2x+1\) und \(s=2y+1\) gilt
\((rs)^2-(r^2+s^2-1)=64\cdot\dfrac{x(x+1)}2\cdot\dfrac{y(y+1)}2\in64\Z\).

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(1) die kongruenz gilt, weil auf beiden Seiten eine gerade Zahl herauskommt. Demnach ist der Rest immer 0. Begründe einfach, dass das so ist.

Answer 1

Setze r=2m-1 und s=2n-1

Vereinfache beide Seiten der Kongruenz. Dann ist nur noch zu zeigen:

2mn-m-n ≡ m+n-2 (mod 2).

Lasse die sicher durch 2 teilbaren Glieder weg:

-m-n ≡ m+n (mod 2)

Das ist leicht zu zeigen.