Zeigen oder widerlegen Sie folgende Relationen

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die folgenden Abbildungen für die Mengen $A, B, C$ und $D$ :
$\begin{aligned} f_{\mathrm{s}} & : A \rightarrow B \\ g & : B \rightarrow C \\ h & : B \rightarrow C \\ f_{\mathrm{i}} & : C \rightarrow D . \end{aligned}$

Zeigen oder widerlegen Sie:

(a) Falls $f_{\mathrm{s}}$ surjektiv ist, gilt die Implikation $\left(g \circ f_{\mathrm{s}}=h \circ f_{\mathrm{s}}\right) \Rightarrow g=h$.

(b) Falls $f_{\mathrm{i}}$ injektiv ist, gilt die Implikation $\left(f_{\mathrm{i}} \circ g=f_{\mathrm{i}} \circ h\right) \Rightarrow g=h$.

Answer 1

Zu a): Sei $b \in B$. Weil f surjektiv ist existiert $a \in A$ mit $f(a)=b$. Es folgt:

$$g(b)=g(f(a))=h(f(a)=h(b)$$

Zu b): Für alle $b \in B$ gilt:

$$(f \circ g)(b)=(f \circ h)(b), \text{ also }f(g(b))=f(h(b)) \Rightarrow g(b)=h(b),$$

weil f injektiv ist.