Zeigen oder widerlegen Sie folgende Relationen

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die folgenden Abbildungen für die Mengen \( A, B, C \) und \( D \) :
\( \begin{aligned} f_{\mathrm{s}} & : A \rightarrow B \\ g & : B \rightarrow C \\ h & : B \rightarrow C \\ f_{\mathrm{i}} & : C \rightarrow D . \end{aligned} \)

Zeigen oder widerlegen Sie:

(a) Falls \( f_{\mathrm{s}} \) surjektiv ist, gilt die Implikation \( \left(g \circ f_{\mathrm{s}}=h \circ f_{\mathrm{s}}\right) \Rightarrow g=h \).

(b) Falls \( f_{\mathrm{i}} \) injektiv ist, gilt die Implikation \( \left(f_{\mathrm{i}} \circ g=f_{\mathrm{i}} \circ h\right) \Rightarrow g=h \).

Answer 1

Zu a): Sei \(b \in B\). Weil f surjektiv ist existiert \(a \in A\) mit \(f(a)=b\). Es folgt:

$$g(b)=g(f(a))=h(f(a)=h(b)$$

Zu b): Für alle \(b \in B\) gilt:

$$(f \circ g)(b)=(f \circ h)(b), \text{  also }f(g(b))=f(h(b)) \Rightarrow g(b)=h(b),$$

weil f injektiv ist.