Wie muss man den Grenzwert 1 für n-te Wurzel aus a beweisen?

Question

Aufgabe: Kann mir bittee jemand helfen?

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
(1) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a}=1 \) für jedes \( a>0 \).
Hinweis: Im Fall \( a>1 \) wenden Sie die Bernoullische Ungleichung auf \( (1+ \) \( (\sqrt[n]{a}-1))^{n} \) an. Im Fall \( a<1 \) beachten Sie, dass \( \sqrt[n]{a}=\left(\sqrt[n]{a^{-1}}\right)^{-1} \).

Comments

Das "Wie" steht im Hinweis. Wo ist das Problem?

Answer 1

1. Fall:  a>1   . Dann hast du mit dem Tipp:

       \( (1+(\sqrt[n]{a}-1))^{n} \gt 1 + n \cdot (\sqrt[n]{a}-1) \)

==>  \( (\sqrt[n]{a})^{n} \gt 1 + n \cdot (\sqrt[n]{a}-1) \)

==>  \( a  \gt 1 + n \cdot (\sqrt[n]{a}-1) \)

==>  \( a-1  \gt  n \cdot (\sqrt[n]{a}-1) \)

Wegen a>1 ist die rechte Seite auch größer als 0.

==>  \( a-1  \gt n \cdot (\sqrt[n]{a}-1) \gt 0 \)

==>  \( \frac{a-1}{n}  \gt \sqrt[n]{a}-1 \gt 0 \)

Die rechte und die linke Schranke gehen für n

gegen unendlich gegen 0.

Damit hast du für n gegen unendlich den Grenzwert

==>  \(\lim\limits_{n \to \infty}  \sqrt[n]{a}-1   = 0  \)

also auch \(\lim\limits_{n \to \infty}  \sqrt[n]{a}   =1  \).

Für die anderen Fälle hast du ja auch einen Tipp.