Können Sie mir die Aufgaben lösen?

Question

Aufgabe:

1) 2^x+3-2^x-1=90    2) 5^2x-2*5^x=15

versteh ich nicht.

Answer 1

1) \(2^{x+3}-2^{x-1}=2^x(2^3-2^{-1})\)

2) Substitution \(u=5^x\) ergibt eine quadratische Gleichung.

Comments

was ist x bei eins? und wo ist die erklärung?

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Hier wurde \(2^x\) ausgeklammert (Potenzgesetze). Du kannst die Gleichung dann durch das in der Klammer dividieren und ganz normal den Logarithmus anwenden.

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Substitution \(u=5^x\) 

Écht jetzt?

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Écht jetzt?

Was ist das Problem?

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Ich sehe in dieser Substitution keinen praktischen Nutzen. Kannst du über deine geheimnisvollen Gedankengänge aufklären? Oder ist \(5^x\) nur ein Schreibfehler?

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Wenn \(u=5^x\), dann ist \(u^2=(5^x)^2=5^{2x}\).

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Irrtum aufgeklärt. Ich war auf die erste Aufgabe \(2^{x+3}-2^{x-1}=90\) fixiert, die mit Potenzen von 5 wirklich nichts zu tun hat.

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:D

Und ich dachte schon, was will er denn jetzt...

Answer 2

Der Exponent x+3 ist um 4 größer als der Exponent x-1.

Man kann die Gleichung umschreiben zu

\(2^{x-1+4}-2^{x-1}=90\)

\(2^{x-1}\cdot2^4 -2^{x-1}=90\)

\(16\cdot 2^{x-1}\ -1\cdot 2^{x-1}=90\)

\(15\cdot 2^{x-1}\ =90\)

\(2^{x-1}\ =6\)

Answer 3

$$ 5^{2x} - 2\cdot 5x = 15 $$

$$ \iff (5^x)^2 - 2\cdot 5x - 15 = 0 \quad |~ u = 5^x $$

$$ \iff u^2 - 2u - 15 = 0 $$

Answer 4

1)

$$2^{x+3}-2^{x-1}=90 \newline 2^3 \cdot 2^x-2^{-1} \cdot 2^x = 90 \newline 8 \cdot 2^x - 0.5 \cdot 2^x = 90 \newline 7.5 \cdot 2^x = 90 \newline 2^x = 12 \newline x = \frac{\ln 12}{\ln 2}$$

2)

$$5^{2x}-2 \cdot 5^x = 15 \newline \text{Subst. } 5^x = z \newline z^2 - 2 \cdot z = 15 \newline z^2 - 2 \cdot z - 15 = 0 \newline z = 5 \rightarrow x = 1 \newline z = -3 \rightarrow \text{keine Lösung}$$

Answer 5

a) 2^x*2^3- 1/2*2^x = 90

7,5*2^x = 90

2^x = 12

x= ln12/ln2

b)

5^x = z

z^2-2z-15 = 0

(z-5)(z+3) = 0

z= 5 v z= -3 (entfällt)

5^x= 5 = 5^1

x= 1