Das ist keine Dgl mit trennbaren Variablen.
Deinen Bruch zu zerlegen gibt wenig Sinn. Benutze Deinen Ansatz auf die Original-Dgl. Außerden gibt es Probleme, wenn Du ein Gleichungssystem mit dem zerstückelten Bruch löst.
Nach Deiner Rücksubst. \(x = u^2+\dots\) solltest Du die Gleichung mit 2 multiplizieren, dann sparst Du Dir die Wurzeln.
Die Konstante nennt man dann auch nicht \(C\), sondern \(\ln(C)\).
Und wenn Du schon so völlig umständlich rechnen willst, dann quadiere wenigstens Deine Gleichung am Ende und setze Deine Konstante \(D = C^2\). Deine Art, mit Wurzeln anstatt Potenzen zu rechnen, schränkt sowohl die Definitionsmenge, als auch die Wertemenge und damit letztendlich auch die Lösung Deiner Dgl. empfindlich und nutzlos ein.
Die beiden "weiteren Lösungen" sind keine, da sie bereits Teil Deiner allgemeinen Lösung sind.
Und ganz bösartig ist, dass Du zweimal dividierst, ohne sicherzustellen, dass das \(\neq 0\) ist.
(Wer hat euch eigentlich das Rechnen beigebracht?)