Differentialgleichung Anwendungsbeispiel

Question

Aufgabe:

Die Aufgabe lautet:

Obstplantage mit 8000 Bäumen wurde mit Schädlingen befallen, die momentane Änderungsrate der Anzahl der befallen Bäume ist proportional zur Differenz zwischen der Gesamtanzahl der Bäume und der momentan befallenen Bäume.

1) Stelle die Differentialgleichung auf

2) Zu Beginn der Beobachtungen waren 300 Bäume befallen. Nach einer Woche um 15% mehr. Ermittle die spezielle Lösung und berechne in welcher Zeit 90% der Bäume befallen sind.

Problem/Ansatz:

1) Ich hab die Differentialgleichung so aufgestellt: y'(t)=k*(8000-y(t)).

2) Hier komme ich nicht weiter, ich habe hier mit der Formel y(t)=a*e^(k*t) gearbeitet, komme aber auf einen falschen Wert. Die Lösung ist 386,324... Wochen.

Danke für eure Hilfe

Answer 1

Die Lösung der Dgl. ist $$y(t) = A e^{-k t } +8000 $$ Die beiden unbekannten Größen \( A \) und \( k \) berechnen sich aus den Anfangsbedingungen.. Es gilt $$ y(0) = 300  $$ und $$  y(1) = 345 $$

Damit ergibt sich $$ A = -7700 $$ und $$ k = \ln\left( \frac{1540}{1531} \right) = 0.005861 $$

Und daraus ergibt sich der Zeitpunkt, bei bis zu dem 90% der Bäume befallen sind aus,

$$ y(t) = A e^{-k t } +8000 = 7200 $$ oder $$ t = -\frac{ \ln \left( -\frac{800}{A} \right) }{k} = 386.324 $$